Percebendo a média dos tempos observados, o corredor pretende realizar o percurso mais vezes com o tempo exatamente igual à média, cada vez, para que o desvio padrão, de todos os tempos observados, diminua 1 unidade. Dessa forma, deve ser igual a:
A) 16.
B) 20.
C) 24.
D) 28.
E) 32.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corredor que já fez algumas corridas e calculou a média dos tempos, que chamamos de . Ele quer fazer mais corridas, todas no tempo exatamente igual à média , para que o desvio padrão dos tempos observados diminua em 1 unidade. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de que satisfaz essa condição. Vamos usar conceitos de média e desvio padrão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o desvio padrão. O desvio padrão () mede o quanto os valores de um conjunto de dados estão dispersos em relação à média. A fórmula do desvio padrão populacional é:
Onde:
é o desvio padrão,
é o número total de observações,
são os valores observados,
é a média dos valores.
Passo 3
Como o corredor já tem uma média e deseja adicionar corridas com tempo exatamente igual a , isso vai impactar o desvio padrão dos tempos observados. Vamos chamar o número inicial de corridas de e o desvio padrão inicial de .
Quando adicionamos corridas com tempo , a nova média continua sendo , já que estamos adicionando valores iguais à média.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a nova variância após adicionar as sigmanova^2 = N sigma^2 + n (x - x)^2N + n corridas. A variância ( sigmanova^2 = N sigma^2N + n ) é o quadrado do desvio padrão. A nova variância () será:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Sabemos que o desvio padrão diminui 1 unidade, então:
sigmanova = sigma - 1
Elevando ao quadrado ambos os lados:
sigmanova^2 = (sigma - 1)^2
Substituindo na equação da variância:
N sigma^2N + n = (sigma - 1)^2
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da equação:
(sigma - 1)^2 = sigma^2 - 2sigma + 1
Então, temos:
N sigma^2N + n = sigma^2 - 2sigma + 1
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por N sigma^2 = (sigma^2 - 2sigma + 1)(N + n) para eliminar a fração: