Para o perfil de velocidade dado abaixo, calcular o rotacional e a equação da linha de corrente.
vx=a(x^2-y^2), vy=-2 a x y, vz=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o rotacional do campo de velocidade dado e também encontrar a equação da linha de corrente para ele. Isso envolve vetores e alguns cálculos de derivadas parciais. Vamos usar o que aprendemos sobre rotacional e linhas de corrente para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional desse campo de velocidade. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z, partial vxpartial z - partial vzpartial x, partial vypartial x - partial vxpartial y ) é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo:
vx = a(x^2 - y^2), vy = -2axy, vz = 0
Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeiro componente:
partial vzpartial y - partial vypartial z = 0 - 0 = 0
  1. Segundo componente:
partial vxpartial z - partial vzpartial x = 0 - 0 = 0
  1. Terceiro componente:
partial vypartial x - partial vxpartial y = (-2a y) - (-2a y) = 0
Então, o rotacional é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são curvas nas quais a velocidade do fluido é tangente em cada ponto. Matemáticamente, elas satisfazem as equações diferenciais:
dydx = vyvx
Substituindo os valores:
dydx = -2a x ya(x^2 - y^2) = -2x yx^2 - y^2

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos simplificar a expressão:
dydx = -2x yx^2 - y^2
Podemos reescrever isso como:
(x^2 - y^2) dy + 2x y dx = 0
Observando que isso é uma equação exata, podemos integrar:
integral (x^2 - y^2) dy + integral 2x y dx = C
Integrando:
x^2 y - y^33 + x^2 y = C
Simplificando:
2x^2 y - y^33 = C

Resposta

O rotacional do campo de velocidade é e a equação da linha de corrente é , onde é uma constante.

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