Para o perfil de velocidade dado abaixo, calcular o rotacional e a equação da linha de corrente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o rotacional do campo de velocidade dado e também encontrar a equação da linha de corrente para ele. Isso envolve vetores e alguns cálculos de derivadas parciais. Vamos usar o que aprendemos sobre rotacional e linhas de corrente para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional desse campo de velocidade. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial
é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo:
Calculando cada componente do rotacional:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Então, o rotacional é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são curvas nas quais a velocidade do fluido é tangente em cada ponto. Matemáticamente, elas satisfazem as equações diferenciais:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos simplificar a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Observando que isso é uma equação exata, podemos integrar:
Integrando:
Simplificando:
Resposta
O rotacional do campo de velocidade é
e a equação da linha de corrente é
, onde
é uma constante.