Para o perfil de velocidade dado abaixo, calcular o rotacional e a equação da linha de corrente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o rotacional do campo de velocidade dado e também encontrar a equação da linha de corrente para ele. Isso envolve vetores e alguns cálculos de derivadas parciais. Vamos usar o que aprendemos sobre rotacional e linhas de corrente para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional desse campo de velocidade. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo:
Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeiro componente:
  1. Segundo componente:
  1. Terceiro componente:
Então, o rotacional é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são curvas nas quais a velocidade do fluido é tangente em cada ponto. Matemáticamente, elas satisfazem as equações diferenciais:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos simplificar a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Observando que isso é uma equação exata, podemos integrar:
Integrando:
Simplificando:

Resposta

O rotacional do campo de velocidade é e a equação da linha de corrente é , onde é uma constante.

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