Para um período recente de 100 anos houve 93 grandes terremotos (pelo menos 6,0 na escala Richter) no mundo. Supondo que a distribuição de Poisson seja um modelo adequado, ache a probabilidade de que o numero de terremotos em um ano selecionado aleatoriamente seja:
c) Até 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a ocorrência de terremotos ao longo de 100 anos e pede para calcular a probabilidade de ter até 2 terremotos em um ano qualquer, usando a distribuição de Poisson. Para isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a taxa média de terremotos por ano. Sabemos que em 100 anos ocorreram 93 terremotos. Então, a taxa média (λ) por ano é:
lambda = 93100 = 0,93

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ocorrer até 2 terremotos em um ano. A fórmula da Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • é a taxa média de ocorrência.
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos a probabilidade de ter até 2 terremotos, ou seja, P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) . Isso significa que vamos somar as probabilidades de ter 0, 1 ou 2 terremotos:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Probabilidade de 0 terremotos:
P(X=0) = e^-0,93 cdot 0,93^00! = e^-0,93 cdot 1 = e^-0,93 approx 0,394
  1. Probabilidade de 1 terremoto:
P(X=1) = e^-0,93 cdot 0,93^11! = e^-0,93 cdot 0,93 approx 0,394 cdot 0,93 approx 0,366
  1. Probabilidade de 2 terremotos:
P(X=2) = e^-0,93 cdot 0,93^22! = e^-0,93 cdot 0,86492 approx 0,394 cdot 0,43245 approx 0,170

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar P(X <= 2) = 0,394 + 0,366 + 0,170 approx 0,930 :

Resposta

A probabilidade de que o número de terremotos em um ano selecionado aleatoriamente seja até 2 é aproximadamente 93,0%.

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