Para um período recente de 100 anos houve 93 grandes terremotos (pelo menos 6,0 na escala Richter) no mundo. Supondo que a distribuição de Poisson seja um modelo adequado, ache a probabilidade de que o numero de terremotos em um ano selecionado aleatoriamente seja:
d) Acima de 3;

Passo 1

Vamos resolver uma questão sobre terremotos usando a Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente uns dos outros. Aqui, queremos saber a probabilidade de que, em um ano escolhido aleatoriamente, ocorram mais de 3 terremotos com magnitude pelo menos 6,0 na escala Richter.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a taxa média de terremotos por ano. Sabemos que em 100 anos houve 93 terremotos. Então, a média ( lambda = 93 terremotos100 anos = 0,93 terremotos por ano ) por ano é:

Passo 3

Queremos achar a probabilidade de terem mais de 3 terremotos em um ano. Na Distribuição de Poisson, isso é representado por .

Passo 4

Para encontrar P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) , podemos calcular o complemento da probabilidade de ter no máximo 3 terremotos em um ano, ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) , que é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 ou 3 terremotos:
P(k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde cada é dado por:

Passo 6

Calculando cada termo:
  • Para P(0) = e^-0,93 cdot 0,93^00! = e^-0,93 approx 0,394 :
P(1) = e^-0,93 cdot 0,93^11! = e^-0,93 cdot 0,93 approx 0,367
  • Para P(2) = e^-0,93 cdot 0,93^22! = e^-0,93 cdot 0,93^22 approx 0,170 :
P(3) = e^-0,93 cdot 0,93^33! = e^-0,93 cdot 0,93^36 approx 0,052
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Somando essas probabilidades:
P(X <= 3) approx 0,394 + 0,367 + 0,170 + 0,052 = 0,983

Passo 8

Finalmente, calculamos a probabilidade de ter mais de 3 terremotos:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - 0,983 = 0,017

Resposta

A probabilidade de que o número de terremotos em um ano selecionado aleatoriamente seja acima de 3 é aproximadamente 1{,}7%.

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