Uma pesquisa de eficácia de uma vacina para uma determinada infecção aplicou um estudo no qual um grupo de pessoas tomaram a vacina (grupo - V) e a outra tomou placebo (grupo P). Após um tempo foi observado que 2 % das pessoas que tomaram a vacina contrairam a doença, enquanto no grupo placebo 15 % contraíram. Considere que em uma população 70 % tomaram a vacina e o restante não tomaram. Uma pessoa é aleatóriamente escolhida desta população.
(b) Se ela está infectada, qual a probabilidade de não ter tomado a vacina?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e o que precisamos para resolver. Temos uma população onde 70% das pessoas tomaram a vacina (grupo V) e 30% não tomaram a vacina, ou seja, tomaram placebo (grupo P). Após um tempo, observou-se que 2% das pessoas que tomaram a vacina ficaram infectadas, enquanto 15% das que tomaram placebo ficaram infectadas. Queremos descobrir qual a probabilidade de uma pessoa não ter tomado a vacina dado que ela está infectada. Para resolver isso, vamos usar a Teoria de Probabilidade Condicional, especificamente o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ V $: pessoa tomou a vacina.
  • $ P $: pessoa tomou placebo.
  • $ I $: pessoa está infectada.
Sabemos que:
  • $ P(V) = 0,70 $ (70% tomaram a vacina)
  • $ P§ = 0,30 $ (30% tomaram placebo)
  • $ P(I|V) = 0,02 $ (2% do grupo vacinado ficou infectado)
  • $ P(I|P) = 0,15 $ (15% do grupo placebo ficou infectado)

Passo 3

Queremos encontrar $ P(P|I) $, ou seja, a probabilidade de a pessoa ter tomado placebo dado que ela está infectada. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
P(P|I)
Onde $ P(I) $ é a probabilidade total de uma pessoa estar infectada na população. Vamos calcular $ P(I) $ usando a Regra da Probabilidade Total:
P(P|I) = P(I|P) cdot P(P)P(I)

Passo 4

Calculando $ P(I) $:
P(I)
Então, a probabilidade total de uma pessoa estar infectada é de 5,9%.

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula do Teorema de Bayes para encontrar $ P(P|I) $:
P(P|I)

Resposta

A probabilidade de uma pessoa não ter tomado a vacina, dado que ela está infectada, é aproximadamente 76,27%.

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