Uma pesquisa de eficácia de uma vacina para uma determinada infecção aplicou um estudo no qual um grupo de pessoas tomaram a vacina (grupo - V) e a outra tomou placebo (grupo P). Após um tempo foi observado que
das pessoas que tomaram a vacina contrairam a doença, enquanto no grupo placebo
contraíram. Considere que em uma população
tomaram a vacina e o restante não tomaram. Uma pessoa é aleatóriamente escolhida desta população.
(b) Se ela está infectada, qual a probabilidade de não ter tomado a vacina?
(b) Se ela está infectada, qual a probabilidade de não ter tomado a vacina?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e o que precisamos para resolver. Temos uma população onde 70% das pessoas tomaram a vacina (grupo V) e 30% não tomaram a vacina, ou seja, tomaram placebo (grupo P). Após um tempo, observou-se que 2% das pessoas que tomaram a vacina ficaram infectadas, enquanto 15% das que tomaram placebo ficaram infectadas. Queremos descobrir qual a probabilidade de uma pessoa não ter tomado a vacina dado que ela está infectada. Para resolver isso, vamos usar a Teoria de Probabilidade Condicional, especificamente o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
- $ V $: pessoa tomou a vacina.
- $ P $: pessoa tomou placebo.
- $ I $: pessoa está infectada.
Sabemos que:
- $ P(V) = 0,70 $ (70% tomaram a vacina)
- $ P§ = 0,30 $ (30% tomaram placebo)
- $ P(I|V) = 0,02 $ (2% do grupo vacinado ficou infectado)
- $ P(I|P) = 0,15 $ (15% do grupo placebo ficou infectado)
Passo 3
Queremos encontrar $ P(P|I) $, ou seja, a probabilidade de a pessoa ter tomado placebo dado que ela está infectada. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Onde $ P(I) $ é a probabilidade total de uma pessoa estar infectada na população. Vamos calcular $ P(I) $ usando a Regra da Probabilidade Total:
Passo 4
Calculando $ P(I) $:
Então, a probabilidade total de uma pessoa estar infectada é de 5,9%.
Passo 5
Agora, aplicamos os valores na fórmula do Teorema de Bayes para encontrar $ P(P|I) $:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa não ter tomado a vacina, dado que ela está infectada, é aproximadamente 76,27%.