Uma pesquisa de eficácia de uma vacina para uma determinada infecção aplicou um estudo no qual um grupo de pessoas tomaram a vacina (grupo - V) e a outra tomou placebo (grupo P). Após um tempo foi observado que 2 % das pessoas que tomaram a vacina contrairam a doença, enquanto no grupo placebo 15 % contraíram. Considere que em uma população 70 % tomaram a vacina e o restante não tomaram. Uma pessoa é aleatóriamente escolhida desta população.
(a) Qual a probabilidade desta pessoa estar infectada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma pesquisa sobre a eficácia de uma vacina. Nela, 70% da população tomou a vacina e 30% tomou um placebo (que não tem efeito). Depois, constatou-se que 2% das pessoas vacinadas ficaram doentes, enquanto 15% das que tomaram o placebo também ficaram doentes. A pergunta é: qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente dessa população estar infectada?

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Porcentagem que tomou a vacina (V): 70% ou 0,7
  • Porcentagem que tomou placebo §: 30% ou 0,3
  • Probabilidade de ficar doente se tomou a vacina: 2% ou 0,02
  • Probabilidade de ficar doente se tomou placebo: 15% ou 0,15

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade total de uma pessoa estar infectada. Para isso, usamos a Regra da Probabilidade Total, que leva em conta todas as maneiras pelas quais o evento pode ocorrer.
A fórmula da Regra da Probabilidade Total é:
P(Infectado) = P(V) times P(Infectado | V) + P(P) times P(Infectado | P)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(Infectado) = 0,7 times 0,02 + 0,3 times 0,15
Calculando cada parte:
  • 0,7 times 0,02 = 0,014
  • 0,3 times 0,15 = 0,045

Passo 5

Agora, somamos os resultados:
0,014 + 0,045 = 0,059

Resposta

A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente estar infectada é de 5,9%.

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