Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos. Esse tempo gasto no supermercado é normalmente distribuído. Uma pessoa entra no supermercado, qual a probabilidade de ela gastar:
a) Entre 24 e 54 minutos
b) Mais que 39 minutos
a) Entre 24 e 54 minutos
b) Mais que 39 minutos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo que uma pessoa gasta no supermercado. A média desse tempo é de 45 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos, e essa distribuição é normal (ou seja, forma um “sino” simétrico). Para resolver as questões, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-Score, que nos ajudam a calcular probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade contínua que é simétrica em torno da média. A média (μ) é 45 minutos e o desvio padrão (σ) é 12 minutos. Para encontrar probabilidades, geralmente usamos a tabela Z, que nos dá a área sob a curva normal para valores padronizados.
Passo 3
O Z-Score é uma maneira de padronizar um valor na distribuição normal. A fórmula do Z-Score é:
Onde:
-
é o valor que estamos analisando, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 4
Questão a) Entre 24 e 54 minutos
Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa gastar entre 24 e 54 minutos no supermercado.
Primeiro, encontramos os Z-Scores para 24 e 54 minutos.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, consultamos a tabela Z para encontrar as probabilidades correspondentes a esses Z-Scores.
- Para
, a tabela Z nos dá aproximadamente 0,0401 (ou 4,01%). - Para
, a tabela Z nos dá aproximadamente 0,7734 (ou 77,34%).
Passo 6
A probabilidade de gastar entre 24 e 54 minutos é a diferença entre essas duas probabilidades:
Ou seja, aproximadamente 73,33%.
Passo 7
Questão b) Mais que 39 minutos
Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa gastar mais de 39 minutos no supermercado.
Primeiro, encontramos o Z-Score para 39 minutos.
Passo 8
Consultando a tabela Z para
, obtemos aproximadamente 0,3085 (ou 30,85%).
Essa é a probabilidade de gastar menos de 39 minutos. Mas queremos a probabilidade de gastar mais de 39 minutos.
Passo 9
Então, subtraímos essa probabilidade de 1 (ou 100%):
Ou seja, aproximadamente 69,15%.
Resposta
a) A probabilidade de gastar entre 24 e 54 minutos é de 73,33%.
b) A probabilidade de gastar mais que 39 minutos é de 69,15%.