Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos. Esse tempo gasto no supermercado é normalmente distribuído. Uma pessoa entra no supermercado, qual a probabilidade de ela gastar:
a) Entre 24 e 54 minutos
b) Mais que 39 minutos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo que uma pessoa gasta no supermercado. A média desse tempo é de 45 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos, e essa distribuição é normal (ou seja, forma um “sino” simétrico). Para resolver as questões, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-Score, que nos ajudam a calcular probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade contínua que é simétrica em torno da média. A média (μ) é 45 minutos e o desvio padrão (σ) é 12 minutos. Para encontrar probabilidades, geralmente usamos a tabela Z, que nos dá a área sob a curva normal para valores padronizados.

Passo 3

O Z-Score é uma maneira de padronizar um valor na distribuição normal. A fórmula do Z-Score é:
Z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que estamos analisando,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Questão a) Entre 24 e 54 minutos

Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa gastar entre 24 e 54 minutos no supermercado.
Primeiro, encontramos os Z-Scores para 24 e 54 minutos.
Para X = 24:
Z1 = 24 - 4512 = -2112 = -1,75
Para X = 54:
Z2 = 54 - 4512 = 912 = 0,75

Passo 5

Agora, consultamos a tabela Z para encontrar as probabilidades correspondentes a esses Z-Scores.
  • Para Z1 = -1,75, a tabela Z nos dá aproximadamente 0,0401 (ou 4,01%).
  • Para Z2 = 0,75, a tabela Z nos dá aproximadamente 0,7734 (ou 77,34%).

Passo 6

A probabilidade de gastar entre 24 e 54 minutos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(24 < X < 54) = P(Z < 0,75) - P(Z < -1,75) = 0,7734 - 0,0401 = 0,7333
Ou seja, aproximadamente 73,33%.

Passo 7

Questão b) Mais que 39 minutos

Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa gastar mais de 39 minutos no supermercado.
Primeiro, encontramos o Z-Score para 39 minutos.
Z = 39 - 4512 = -612 = -0,5

Passo 8

Consultando a tabela Z para Z = -0,5, obtemos aproximadamente 0,3085 (ou 30,85%).
Essa é a probabilidade de gastar menos de 39 minutos. Mas queremos a probabilidade de gastar mais de 39 minutos.

Passo 9

Então, subtraímos essa probabilidade de 1 (ou 100%):
P(X > 39) = 1 - P(Z < -0,5) = 1 - 0,3085 = 0,6915
Ou seja, aproximadamente 69,15%.

Resposta

a) A probabilidade de gastar entre 24 e 54 minutos é de 73,33%.
b) A probabilidade de gastar mais que 39 minutos é de 69,15%.

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