Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 25. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120
b) entre 75 e 125
c) Menor que 90
a) maior que 120
b) entre 75 e 125
c) Menor que 90
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um teste que segue a distribuição normal, com média de 100 e desvio padrão de 25. O que precisamos descobrir são as probabilidades de alguém tirar:
a) uma nota maior que 120,
b) uma nota entre 75 e 125,
c) uma nota menor que 90.
Para resolver isso, vamos usar a padronização da distribuição normal e a tabela Z, que nos ajuda a encontrar essas probabilidades.
Passo 2
Parte a: Probabilidade de tirar uma nota maior que 120
Primeiro, vamos padronizar o valor 120 para descobrir quantos desvios padrão ele está acima da média. A fórmula para padronizar é:
Onde:
- $ X $ é o valor que a gente quer,
- $ \mu $ é a média (100),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (25).
Então:
Agora, vamos usar a tabela Z para encontrar a probabilidade de $ Z > 0,8 $. A tabela Z nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Então, primeiro encontramos $ P(Z < 0,8) $.
Consultando a tabela Z, encontramos que $ P(Z < 0,8) \approx 0,7881 $.
Como queremos $ P(Z > 0,8) $, subtraímos esse valor de 1:
Então, a probabilidade de tirar uma nota maior que 120 é aproximadamente 21,19%.
Passo 3
Parte b: Probabilidade de tirar uma nota entre 75 e 125
Primeiro, vamos padronizar os valores 75 e 125.
Para 75:
Para 125:
Agora, vamos achar $ P(-1 < Z < 1) $.
Consultando a tabela Z:
- $ P(Z < 1) \approx 0,8413 $
- $ P(Z < -1) \approx 0,1587 $
Então:
Portanto, a probabilidade de tirar uma nota entre 75 e 125 é aproximadamente 68,26%.
Passo 4
Parte c: Probabilidade de tirar uma nota menor que 90
Vamos padronizar o valor 90.
Agora, queremos $ P(Z < -0,4) $.
Consultando a tabela Z, encontramos que $ P(Z < -0,4) \approx 0,3446 $.
Então, a probabilidade de tirar uma nota menor que 90 é aproximadamente 34,46%.
Resposta
a) A probabilidade de tirar uma nota maior que 120 é de aproximadamente 21,19%.
b) A probabilidade de tirar uma nota entre 75 e 125 é de aproximadamente 68,26%.
c) A probabilidade de tirar uma nota menor que 90 é de aproximadamente 34,46%.