Em uma pesquisa de opinião, 60% das pessoas aprovam uma medida. Se 200 pessoas forem entrevistadas, qual a probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem a medida?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma pesquisa de opinião onde 60% das pessoas aprovam uma medida. A gente precisa descobrir a probabilidade de, em uma entrevista com 200 pessoas, que entre 110 e 130 delas aprovem essa medida. Aqui, vamos trabalhar com probabilidade, usando conceitos de distribuição binomial e sua aproximação normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distribuição binomial. É uma distribuição de probabilidade que conta o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, cada pessoa entrevistada é uma tentativa, e a “aprovação” é o sucesso com probabilidade de 60% (ou 0,6).

Passo 3

Mas como temos 200 pessoas, calcular diretamente com a distribuição binomial pode ser complicado. Por isso, usamos a aproximação normal, que facilita os cálculos quando o número de tentativas é grande. Para isso, precisamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial.

Passo 4

A média da distribuição binomial é dada por:
mu = n times p
Onde:
  • $ n = 200 $ (número de pessoas entrevistadas)
  • $ p = 0,6 $ (probabilidade de aprovação)
Então,
n = 200

Passo 5

O desvio padrão é calculado por:
sigma = raizn times p times (1 - p)
Substituindo os valores:
sigma = raiz200 times 0,6 times 0,4 = raiz48 approx 6,928

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem. Usamos a correção de continuidade para ajustar a nossa aproximação normal. Assim, calculamos:
P(110 <= X <= 130) approx P(109,5 < X < 130,5)

Passo 7

Vamos padronizar esses valores para encontrar os escores z:
z = X - musigma
Para $ X = 109,5 $:
X = 109,5
Para $ X = 130,5 $:
z1 = 109,5 - 1206,928 approx -1,517

Passo 8

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a $ z_1 $ e $ z_2 $.
z1
z2

Passo 9

A probabilidade de $ X $ estar entre 110 e 130 é:
X

Resposta

A probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem a medida é de aproximadamente 87%.

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