Em uma pesquisa de opinião, 60% das pessoas aprovam uma medida. Se 200 pessoas forem entrevistadas, qual a probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem a medida?
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma pesquisa de opinião onde 60% das pessoas aprovam uma medida. A gente precisa descobrir a probabilidade de, em uma entrevista com 200 pessoas, que entre 110 e 130 delas aprovem essa medida. Aqui, vamos trabalhar com probabilidade, usando conceitos de distribuição binomial e sua aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é distribuição binomial. É uma distribuição de probabilidade que conta o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, cada pessoa entrevistada é uma tentativa, e a “aprovação” é o sucesso com probabilidade de 60% (ou 0,6).
Passo 3
Mas como temos 200 pessoas, calcular diretamente com a distribuição binomial pode ser complicado. Por isso, usamos a aproximação normal, que facilita os cálculos quando o número de tentativas é grande. Para isso, precisamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial.
Passo 4
A média da distribuição binomial é dada por:
Onde:
- $ n = 200 $ (número de pessoas entrevistadas)
- $ p = 0,6 $ (probabilidade de aprovação)
Então,
Passo 5
O desvio padrão é calculado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem. Usamos a correção de continuidade para ajustar a nossa aproximação normal. Assim, calculamos:
Passo 7
Vamos padronizar esses valores para encontrar os escores z:
Para $ X = 109,5 $:
Para $ X = 130,5 $:
Passo 8
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a $ z_1 $ e $ z_2 $.
Passo 9
A probabilidade de $ X $ estar entre 110 e 130 é:
Resposta
A probabilidade de que entre 110 e 130 pessoas aprovem a medida é de aproximadamente 87%.