Considere o modelo clássico de regressão linear normal Yi=alpha+beta cdot Xi+varepsiloni, onde varepsiloni sim N(0 ; sigma^2) ; E(varepsiloni varepsilonj)=0, para i neq j, e os Xi^prime s são não-aleatórios. Suponha que a e b são respectivamente os estimadores de mínimos quadrados simples dos parâmetros da regressão alpha e beta, obtidos a partir de uma amostra de n pares (Xi, Yi).
d) Explique em que consiste estimar por intervalo os valores de E(Yi) e de Yi para um valor dado de Xi 0 que há de comum nas estimativas de E(Yi) e de Yi e em que diferem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um modelo de regressão linear onde tentamos relacionar uma variável Y com uma variável X usando a fórmula $ Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i $. Aqui, $ \varepsilon_i $ são os erros que seguem uma distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2 $. Temos estimadores para $ \alpha $ e $ \beta $, chamados de mínimos quadrados, baseados em uma amostra de n pares de dados (X_i, Y_i).
No exercício, precisamos entender como estimar, por intervalos, dois valores para um X específico (no caso, X_i = 0):
  1. O valor esperado de Y, ou seja, $ E(Y_i) $.
  2. Um valor individual de Y, ou seja, $ Y_i $.
Vamos ver o que eles têm em comum e onde eles diferem, usando intervalos de confiança. Para isso, vamos precisar entender o que são esses intervalos e como eles são construídos no contexto da regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa estimar $ E(Y_i) $ e $ Y_i $ por intervalos.
  • Estimativa de $ E(Y_i) $: Isso representa o valor médio de Y para um dado valor de X, no nosso caso, quando $ X_i = 0 $. Queremos saber qual é o valor médio esperado de Y quando X é 0.
  • Estimativa de $ Y_i $: Isso representa o valor individual de Y para um dado X. Ou seja, estamos tentando prever um valor específico de Y quando X é 0.
Ambas as estimativas usam o mesmo modelo de regressão, mas têm propósitos diferentes: uma é para a média e a outra para um valor específico.

Passo 3

Agora, vamos entender como construímos os intervalos de confiança para cada uma dessas estimativas.
  • Intervalo de Confiança para $ E(Y_i) $: Esse intervalo nos dá uma faixa dentro da qual esperamos que o valor médio de Y esteja, com certo nível de confiança (por exemplo, 95%). Ele considera a incerteza na estimativa dos parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $.
  • Intervalo de Previsão para $ Y_i $: Esse intervalo também nos dá uma faixa, mas agora esperamos que um único valor de Y caia dentro dela, com o mesmo nível de confiança. Além de considerar a incerteza nos parâmetros, ele inclui a variabilidade dos erros individuais $ \varepsilon_i $.

Passo 4

Vamos ver o que esses intervalos têm em comum:
  1. Base Matemática: Ambos usam a mesma fórmula de regressão $ Y = \alpha + \beta X $.
  2. Nível de Confiança: Geralmente são construídos com o mesmo nível de confiança, como 95%.
  3. Incerteza nos Parâmetros: Ambos levam em conta a incerteza na estimativa de $ \alpha $ e $ \beta $.

Passo 5

Agora, vamos ver onde eles diferem:
  1. Objetivo do Intervalo:
    • O intervalo para $ E(Y_i) $ busca a média de Y para X=0.
    • O intervalo para $ Y_i $ busca prever um valor individual de Y para X=0.
  2. Variabilidade Considerada:
    • O intervalo para $ Y_i $ é mais amplo porque além da incerteza nos parâmetros, ele inclui a variabilidade dos erros individuais $ \varepsilon_i $.
    • O intervalo para $ E(Y_i) $ não inclui essa variabilidade extra, pois está focado na média.

Passo 6

Para construir esses intervalos, usamos a seguinte abordagem:
  • Para $ E(Y_i) $:
    E(Yi)
    O intervalo de confiança é:
    Y = alpha + beta cdot Xi
    Onde $ SE(\hat{Y}) $ é o erro padrão da estimativa da média.
  • Para $ Y_i $:
    Y pm talpha/2, n-2 cdot SE(Y)
    Aqui, além do erro padrão da média, adicionamos a variância dos erros individuais.

Passo 7

Resumindo, ao estimar $ E(Y_i) $ e $ Y_i $ para um valor dado de X=0:
  • Em comum: Ambos usam o modelo de regressão, consideram a incerteza nos parâmetros e são construídos com base na mesma amostra.
  • Diferença: O intervalo para $ Y_i $ inclui a variabilidade adicional dos erros individuais, tornando-o mais amplo que o intervalo para $ E(Y_i) $, que foca apenas na média.

Resposta

Estimando por intervalo os valores de $ E(Y_i) $ e de $ Y_i $ para $ X_i = 0 $, ambos utilizam o modelo de regressão e consideram a incerteza nos parâmetros estimados, mas diferem na variabilidade considerada. Enquanto o intervalo para $ E(Y_i) $ foca na média e é mais estreito, o intervalo para $ Y_i $ inclui a variabilidade dos erros individuais, tornando-o mais amplo. Assim, ambos compartilham a base do modelo e a incerteza dos parâmetros, mas o intervalo para $ Y_i $ também incorpora a variabilidade adicional dos dados individuais.

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