Uma pessoa precisa calcular a capacidade (volume) de um reservatório, para armazenamento de materiais de construções. Este reservatório é limitado superiormente pela superfície f(x, y) = 16 - |y|, sendo a base o retângulo R = {(x, y) em} R^2; 0 <= x <= 4 e -2 <= y <= 2. Considere x e y em metros.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a capacidade (volume) de um reservatório usado para armazenar materiais de construção. A superfície superior do reservatório é dada pela função e a base é um retângulo definido por e , onde e estão em metros. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume do reservatório.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume do reservatório pode ser encontrado integrando a função que descreve a altura ( ) sobre a área da base . Isso significa que vamos calcular:
Onde é o volume, é a função que descreve a superfície superior, e representa um pequeno elemento de área na base.

Passo 3

A base é um retângulo onde varia de 0 a 4 e varia de -2 a 2. Então, podemos reescrever a integral dupla como duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a :

Passo 4

Vamos primeiro resolver a integral interna, que é a integração de em relação a de -2 a 2:
Como é uma função simétrica, podemos simplificar calculando de 0 a 2 e multiplicando por 2:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:

Passo 6

Com o resultado da integral interna sendo 60, agora substituímos de volta na integral externa:

Passo 7

Integrando 60 em relação a de 0 a 4:

Resposta

O volume do reservatório é de 240 metros cúbicos.

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