Uma pessoa precisa calcular a capacidade (volume) de um reservatório, para armazenamento de materiais de construções. Este reservatório é limitado superiormente pela superfície
, sendo a base o retângulo
. Considere x e y em metros.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a capacidade (volume) de um reservatório usado para armazenar materiais de construção. A superfície superior do reservatório é dada pela função
e a base é um retângulo definido por
e
, onde
e
estão em metros. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume do reservatório.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume do reservatório pode ser encontrado integrando a função que descreve a altura (
) sobre a área da base
. Isso significa que vamos calcular:
Onde
é o volume,
é a função que descreve a superfície superior, e
representa um pequeno elemento de área na base.
Passo 3
A base
é um retângulo onde
varia de 0 a 4 e
varia de -2 a 2. Então, podemos reescrever a integral dupla como duas integrais simples, uma em relação a
e outra em relação a
:
Passo 4
Vamos primeiro resolver a integral interna, que é a integração de
em relação a
de -2 a 2:
Como
é uma função simétrica, podemos simplificar calculando de 0 a 2 e multiplicando por 2:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Passo 6
Com o resultado da integral interna sendo 60, agora substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Integrando 60 em relação a
de 0 a 4:
Resposta
O volume do reservatório é de 240 metros cúbicos.