Uma pirâmide hexagonal regular possui apótema da base medindo 4√3 cm. Sabe-se que a medida da altura dessa pirâmide é equivalente a 2√3 cm. O volume dessa pirâmide em cm³ é igual a:
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre o volume de uma pirâmide hexagonal regular. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente a fórmula do volume da pirâmide, que envolve a área da base e a altura da pirâmide.
Passo 2
A fórmula para calcular o volume $ V $ de uma pirâmide é:
Aqui, a base é um hexágono regular, e a altura da pirâmide é dada como $ 2\sqrt{3} $ cm.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar a área da base, que é um hexágono regular. A área $ A $ de um polígono regular pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ P $ é o perímetro da base.
- $ a $ é o apótema da base, que nesse caso é $ 4\sqrt{3} $ cm.
Passo 4
Para encontrar o perímetro $ P $, precisamos saber o comprimento de um lado do hexágono. Em um hexágono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento. A relação entre o apótema $ a $ e o lado $ s $ de um hexágono regular é dada por:
Onde $ n = 6 $ (número de lados do hexágono). Substituindo os valores:
Sabemos que $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, então:
Passo 5
Com o comprimento do lado $ s = 8 $ cm, o perímetro $ P $ do hexágono é:
Passo 6
Agora, calculamos a área da base:
Passo 7
Por fim, usamos a fórmula do volume da pirâmide:
Resposta
O volume da pirâmide é igual a $ 192 cm^3 $.