(a) Se o pistão menor de uma alavanca hidráulica possui um diâmetro de 3,72 cm, e o pistão maior, um diâmetro de 51,3 cm, qual deve ser a força atuante no pistão menor para suportar um peso de 18,6 kN (por exemplo, um veículo) no pistão maior? (b) Qual é o deslocamento necessário ao pis tão menor para uma elevação de 1,65 m deste peso?

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre alavancas hidráulicas. O enunciado nos pede, na parte (a), para encontrar a força que deve ser aplicada no pistão menor de uma alavanca hidráulica para suportar um peso de 18,6 kN no pistão maior. Na parte (b), precisamos determinar o deslocamento necessário do pistão menor para elevar esse peso em 1,65 metros. Para resolver isso, vamos utilizar os princípios da hidráulica, especificamente a Lei de Pascal, que relaciona as forças e as áreas dos pistões em sistemas hidráulicos.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a força no pistão menor
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Pascal, que afirma que a pressão aplicada em um fluido incompressível é transmitida igualmente em todas as direções. Matemáticamente, isso é expresso por:
F1A1 = F2A2
Onde:
  • A = pi (d2)^2 é a força no pistão menor,
  • A1 = pi (3,722)^2 = pi (1,86)^2 approx 10,88 cm^2 é a área do pistão menor,
  • A2 = pi (51,32)^2 = pi (25,65)^2 approx 2062,28 cm^2 é a força no pistão maior (18,6 kN),
  • F1 = F2 times A1A2 é a área do pistão maior.
Primeiro, precisamos calcular as áreas dos pistões. A área de um círculo é dada por:
F1 = 18,6 times 10,882062,28
Vamos calcular F1 approx 18,6 times 0,00528 approx 0,098 kN approx 98 N e :
Para o pistão menor ( cm):
Para o pistão maior ( cm):
Agora, aplicando a Lei de Pascal para encontrar :
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 3

Parte (b): Determinar o deslocamento do pistão menor
Para encontrar o deslocamento necessário do pistão menor para elevar o peso em 1,65 metros, vamos utilizar o princípio da conservação da energia (princípio de Bernoulli simplificado para deslocamentos em sistemas hidráulicos).
A energia fornecida pela força no pistão menor deve igualar a energia necessária para elevar o peso no pistão maior. Isso pode ser expresso por:
F1 times s1 = F2 times s2
Onde:
  • s1 = F2 times s2F1 é o deslocamento do pistão menor,
  • s1 = 18,6 times 1,650,098 approx 30,690,098 approx 313,37 m é o deslocamento do pistão maior (1,65 m).
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

a) A força que deve ser aplicada no pistão menor é aproximadamente 98 N.
b) O deslocamento necessário no pistão menor para elevar o peso em 1,65 metros é de aproximadamente 313,37 metros.

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