Um poliedro convexo é composto por 16 faces triangulares. Quantos vértices ele tem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um poliedro convexo que possui 16 faces triangulares. A pergunta é: quantos vértices esse poliedro tem? Para resolver isso, vamos usar um conceito da geometria espacial chamado Fórmula de Euler. Vamos precisar entender como relacionar vértices, arestas e faces para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a Fórmula de Euler para poliedros convexos. Essa fórmula é:
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.
Essa relação nos ajuda a conectar essas três características do poliedro.
Passo 3
Agora, sabemos que cada face do nosso poliedro é um triângulo. Um triângulo tem 3 arestas. Então, se temos 16 faces triangulares, cada uma contribuindo com 3 arestas, a princípio teríamos:
Mas atenção! Cada aresta é compartilhada por 2 faces, então na verdade estamos contando cada aresta duas vezes. Por isso, precisamos dividir esse total por 2 para encontrar o número real de arestas.
Passo 4
Fazendo essa conta:
Então, temos 24 arestas no poliedro.
Passo 5
Agora, vamos voltar à Fórmula de Euler:
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando:
Agora, isolamos $ V $:
Resposta
O poliedro tem 10 vértices.