Um poliedro convexo é composto por 16 faces triangulares. Quantos vértices ele tem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um poliedro convexo que possui 16 faces triangulares. A pergunta é: quantos vértices esse poliedro tem? Para resolver isso, vamos usar um conceito da geometria espacial chamado Fórmula de Euler. Vamos precisar entender como relacionar vértices, arestas e faces para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Fórmula de Euler para poliedros convexos. Essa fórmula é:
V - E + F = 2
Onde:
  • $ V $ é o número de vértices,
  • $ E $ é o número de arestas,
  • $ F $ é o número de faces.
Essa relação nos ajuda a conectar essas três características do poliedro.

Passo 3

Agora, sabemos que cada face do nosso poliedro é um triângulo. Um triângulo tem 3 arestas. Então, se temos 16 faces triangulares, cada uma contribuindo com 3 arestas, a princípio teríamos:
3 times 16 = 48 arestas
Mas atenção! Cada aresta é compartilhada por 2 faces, então na verdade estamos contando cada aresta duas vezes. Por isso, precisamos dividir esse total por 2 para encontrar o número real de arestas.

Passo 4

Fazendo essa conta:
E = 3 times 162 = 482 = 24 arestas
Então, temos 24 arestas no poliedro.

Passo 5

Agora, vamos voltar à Fórmula de Euler:
V - E + F = 2
Substituindo os valores que já temos:
V - 24 + 16 = 2
Simplificando:
V - 8 = 2
Agora, isolamos $ V $:
V

Resposta

O poliedro tem 10 vértices.

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