Um polígono regular de 2 n+1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se três dos seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo.

Passo 1

Vamos lá! Temos um polígono regular com 2n+1 lados inscrito num círculo. A pergunta é: qual é a probabilidade de que, ao escolhermos três vértices desse polígono para formar um triângulo, o centro do círculo fique dentro desse triângulo?
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de combinatória para calcular quantas combinações de triângulos são possíveis e quantos desses triângulos incluem o centro do círculo. Também vamos usar alguns conceitos de geometria relacionados a círculos e polígonos regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de triângulos que podemos formar escolhendo três vértices entre os 2n+1 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 2n+1 elementos tomados 3 a 3, que é representado pela notação dbinom2n+13.
Total de triângulos = dbinom2n+13 = (2n+1) cdot 2n cdot (2n-1)6 â

Passo 3

Agora, precisamos descobrir quantos desses triângulos contêm o centro do círculo. O centro estará dentro do triângulo se e somente se os três vértices não estiverem todos dentro de um semicírculo qualquer do círculo.
Em um polígono regular de 2n+1 lados, cada semicírculo do círculo abrange exatamente n+1 vértices consecutivos.

Passo 4

Para cada conjunto de n+1 vértices consecutivos, podemos escolher 3 vértices que formarão um triângulo que não contém o centro. O número de tais triângulos em cada semicírculo é dado por:
Triângulos em um semicírculo = dbinomn+13 = (n+1) cdot n cdot (n-1)6 âí

Passo 5

Como o polígono tem 2n+1 vértices, existem 2n+1 possíveis semicírculos distintos (cada um começando em um vértice diferente). Portanto, o número total de triângulos que não contêm o centro é:
Triângulos que não contêm o centro = (2n+1) cdot dbinomn2 = (2n+1) cdot n cdot (n-1)2 âãê

Passo 6

Para encontrar o número de triângulos que contêm o centro, subtraímos os triângulos que não contêm o centro do total de triângulos:
Triângulos que contêm o centro = dbinom2n+13 - (2n+1) cdot dbinomn2 âê

Passo 7

Agora, substituímos as combinações calculadas anteriormente:
dbinom2n+13 - (2n+1) cdot dbinomn2 = (2n+1) cdot 2n cdot (2n-1)6 - (2n+1) cdot n cdot (n-1)2
Simplificando a expressão:
= (2n+1) cdot n cdot (n+1)6

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de que o centro do círculo esteja dentro do triângulo é a razão entre o número de triângulos que contêm o centro e o número total de triângulos:
Probabilidade = dbinom2n+13 - (2n+1) cdot dbinomn2dbinom2n+13 = (n+1)2 cdot (2n -1)

Resposta

A probabilidade do centro do círculo estar dentro do triângulo é dfracn+14n-2.

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