Um polígono regular de lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se três dos seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo.

Passo 1

Vamos lá! Temos um polígono regular com lados inscrito num círculo. A pergunta é: qual é a probabilidade de que, ao escolhermos três vértices desse polígono para formar um triângulo, o centro do círculo fique dentro desse triângulo?
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de combinatória para calcular quantas combinações de triângulos são possíveis e quantos desses triângulos incluem o centro do círculo. Também vamos usar alguns conceitos de geometria relacionados a círculos e polígonos regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de triângulos que podemos formar escolhendo três vértices entre os disponíveis. Isso é dado pela combinação de elementos tomados 3 a 3, que é representado pela notação .
â

Passo 3

Agora, precisamos descobrir quantos desses triângulos contêm o centro do círculo. O centro estará dentro do triângulo se e somente se os três vértices não estiverem todos dentro de um semicírculo qualquer do círculo.
Em um polígono regular de lados, cada semicírculo do círculo abrange exatamente vértices consecutivos.

Passo 4

Para cada conjunto de vértices consecutivos, podemos escolher 3 vértices que formarão um triângulo que não contém o centro. O número de tais triângulos em cada semicírculo é dado por:
âí

Passo 5

Como o polígono tem vértices, existem possíveis semicírculos distintos (cada um começando em um vértice diferente). Portanto, o número total de triângulos que não contêm o centro é:
âãê

Passo 6

Para encontrar o número de triângulos que contêm o centro, subtraímos os triângulos que não contêm o centro do total de triângulos:
âê

Passo 7

Agora, substituímos as combinações calculadas anteriormente:
Simplificando a expressão:

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de que o centro do círculo esteja dentro do triângulo é a razão entre o número de triângulos que contêm o centro e o número total de triângulos:

Resposta

A probabilidade do centro do círculo estar dentro do triângulo é .

Exercícios relacionados

Se o diretor da empresa não concordar com a reinvindicação da classe, aceitando pagar um abono de a todos os empregados, qual será o valor deste novo salário médio, sabendo que o salário é de R$ 1100,00?
O sindicato dos empregados está reivindicando uma reposição salarial de . Se a reinvindicação for atendida, qual será o novo salário médio?
Em um armário há 5 pares de sapatos. Escolhem-se 4 pés de sapatos. Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos?
Um juiz de futebol meio trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarelo, qual é a probabilidade da face voltada para o juiz ser vermelha?