Um polígono regular de
lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se três dos seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo.
Passo 1
Vamos lá! Temos um polígono regular com
lados inscrito num círculo. A pergunta é: qual é a probabilidade de que, ao escolhermos três vértices desse polígono para formar um triângulo, o centro do círculo fique dentro desse triângulo?
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de combinatória para calcular quantas combinações de triângulos são possíveis e quantos desses triângulos incluem o centro do círculo. Também vamos usar alguns conceitos de geometria relacionados a círculos e polígonos regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de triângulos que podemos formar escolhendo três vértices entre os
disponíveis. Isso é dado pela combinação de
elementos tomados 3 a 3, que é representado pela notação
.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir quantos desses triângulos contêm o centro do círculo. O centro estará dentro do triângulo se e somente se os três vértices não estiverem todos dentro de um semicírculo qualquer do círculo.
Em um polígono regular de
lados, cada semicírculo do círculo abrange exatamente
vértices consecutivos.
Passo 4
Para cada conjunto de
vértices consecutivos, podemos escolher 3 vértices que formarão um triângulo que não contém o centro. O número de tais triângulos em cada semicírculo é dado por:
Passo 5
Como o polígono tem
vértices, existem
possíveis semicírculos distintos (cada um começando em um vértice diferente). Portanto, o número total de triângulos que não contêm o centro é:
Passo 6
Para encontrar o número de triângulos que contêm o centro, subtraímos os triângulos que não contêm o centro do total de triângulos:
Passo 7
Agora, substituímos as combinações calculadas anteriormente:
Simplificando a expressão:
Passo 8
Finalmente, a probabilidade de que o centro do círculo esteja dentro do triângulo é a razão entre o número de triângulos que contêm o centro e o número total de triângulos:
Resposta
A probabilidade do centro do círculo estar dentro do triângulo é
.