Em um armário há 5 pares de sapatos. Escolhem-se 4 pés de sapatos. Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos?

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos um armário com 5 pares de sapatos, ou seja, 10 sapatos individuais. Queremos saber qual a probabilidade de, ao escolhermos 4 sapatos, formar exatamente um par. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve contar de quantas maneiras podemos escolher os sapatos e identificar aquelas que atendem à condição desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 4 sapatos entre os 10 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 10 sapatos tomados 4 a 4, representada por:
C10^4 = 10!4!(10-4)! = 210

Passo 3

Agora, vamos determinar de quantas maneiras podemos formar exatamente um par. Para isso, seguimos dois passos:
  1. Escolher exatamente 1 par de sapatos: Temos 5 pares, então há 5 maneiras de escolher qual par será.
  2. Escolher 2 sapatos de pares diferentes: Após escolher um par, restam 4 pares (8 sapatos). Queremos escolher 2 sapatos de pares diferentes, ou seja, sem formar outro par. Primeiro, escolhemos 2 pares dentre os 4 restantes:
C4^2 = 6
Para cada um desses 2 pares escolhidos, temos 2 opç��es de sapatos (esquerdo ou direito). Então, para cada par escolhido, há 2 possibilidades, totalizando:
2 times 2 = 4 maneiras
Multiplicando as combinações:
6 times 4 = 24
Portanto, o número de maneiras de escolher 2 sapatos de pares diferentes é 24.

Passo 4

Multiplicando o número de maneiras de escolher o par e os sapatos individuais:
5 times 24 = 120
Então, há 120 maneiras de escolher 4 sapatos que formam exatamente um par.

Passo 5

Por fim, a probabilidade de formar exatamente um par é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras de escolher os sapatos:
P = 120210 = 1221 = 47 approx 0,571 ou 57,1%

Resposta

A probabilidade de formar exatamente um par de sapatos ao escolher 4 sapatos entre 5 pares é de aproximadamente 57,1%.

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