Um juiz de futebol meio trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarelo, qual é a probabilidade da face voltada para o juiz ser vermelha?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos um juiz de futebol que possui três tipos de cartões no bolso:
  1. Cartão amarelo: ambos os lados são amarelos.
  2. Cartão vermelho: ambos os lados são vermelhos.
  3. Cartão com uma face amarela e uma face vermelha: um lado amarelo e o outro vermelho.
Depois de uma jogada violenta, o juiz pega um cartão aleatoriamente e mostra uma face para o atleta. Sabendo que a face exibida é amarela, queremos descobrir qual a probabilidade de que a face que está voltada para o juiz seja vermelha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis faces que podem ser mostradas ao atleta e suas respectivas faces opostas. Como temos três cartões, cada um com duas faces, temos um total de 6 possíveis faces que podem ser exibidas:
  1. Cartão amarelo (AA):
    • Face 1: Amarelo (e a outra face também é amarela).
    • Face 2: Amarelo.
  2. Cartão vermelho (RR):
    • Face 1: Vermelho.
    • Face 2: Vermelho.
  3. Cartão amarelo/vermelho (AV/RV):
    • Face 1: Amarelo (com a outra face vermelha).
    • Face 2: Vermelho.

Passo 3

Como o atleta viu uma face amarela, vamos eliminar todas as possibilidades onde a face exibida é vermelha. Das 6 faces possíveis:
  • Cartão amarelo (AA):
    • Ambas as faces são amarelas. Então, 2 possibilidades.
  • Cartão vermelho (RR):
    • Ambas as faces são vermelhas. Essas não são consideradas, já que a face mostrada foi amarela.
  • Cartão amarelo/vermelho (AV/RV):
    • Apenas uma face é amarela.
Portanto, há um total de 3 possibilidades onde a face exibida é amarela.

Passo 4

Agora, queremos saber em quantas dessas possibilidades a face oposta é vermelha:
  • Cartão amarelo (AA):
    • Ambas as faces são amarelas. Então, em 2 dessas possibilidades, a face oposta é amarela.
  • Cartão amarelo/vermelho (AV/RV):
    • A face oposta é vermelha. Então, em 1 possibilidade, a face oposta é vermelha.
Portanto, há 1 caso favorável onde a face oposta é vermelha.

Passo 5

Para encontrar a probabilidade desejada, usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(Vermelha | Amarela) = Número de casos favoráveisNúmero de casos possíveis úáúí
Substituindo os valores:
P(Vermelha | Amarela) = 13

Resposta

A probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha é .

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