Para um polinômio ; onde é uma variável. Para definimos como sendo a
Considere e uma matriz idempotente em . Prove que, se (matriz nula), então vale que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um polinômio e uma matriz que é idempotente, ou seja, . A gente precisa mostrar que, se é a matriz nula (toda zerada), então o valor de tem que ser igual a zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que substituímos por no polinômio e o resultado é a matriz nula. Então:
Onde é a matriz identidade.
Passo 3
Sabemos que a matriz é idempotente, ou seja, . Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Então, a matriz é a matriz nula.
Passo 5
A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Multiplicando por , temos uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são e os outros são 0. Para que seja a matriz nula, cada elemento da diagonal principal deve ser zero: