(2.0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para a função
(escreva seu termo geral).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e Funções Logarítmicas. Para isso, vamos usar a expansão em série da função logarítmica e adaptar para o nosso caso.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de potências para
é dada por:
Essa fórmula nos permite expressar o logaritmo natural como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
No nosso problema, temos
. Comparando com a fórmula geral, podemos identificar que
. Então, substituindo
por
na série, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que
. Então, a série fica:
Essa é a representação em série de potências para a função dada.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
Ou seja, o termo geral é: