(2.0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para a função f(x) = ln(1 + x^4) (escreva seu termo geral).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e Funções Logarítmicas. Para isso, vamos usar a expansão em série da função logarítmica e adaptar para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de potências para é dada por:
Essa fórmula nos permite expressar o logaritmo natural como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

No nosso problema, temos . Comparando com a fórmula geral, podemos identificar que . Então, substituindo por na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Sabemos que . Então, a série fica:
Essa é a representação em série de potências para a função dada.

Resposta

A representação em série de potências para é:
Ou seja, o termo geral é:

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