Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .
Passo 1
Então, a gente tem uma série para analisar e precisa descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que vamos olhar é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência absoluta e convergência condicional. Isso envolve verificar se a série ainda converge quando a gente ignora os sinais positivos e negativos dos termos (ou seja, analisando a série dos valores absolutos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se a gente tem:
e essa série converge, então a série original é absolutamente convergente.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Os termos da série são:
O valor absoluto de é:
Então, a série dos valores absolutos é:
Passo 4
Agora, pra saber se essa série dos valores absolutos converge, vamos usar o Teste da Série p. Esse teste diz que a série:
sumn=1^infty 1n^p
converge se sumn=1^infty 1n^3/2 e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1. Então, pelo Teste da Série p, a série dos valores absolutos:
converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original: