Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn.

Passo 1

Então, a gente tem uma série para analisar e precisa descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que vamos olhar é:
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn
Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência absoluta e convergência condicional. Isso envolve verificar se a série ainda converge quando a gente ignora os sinais positivos e negativos dos termos (ou seja, analisando a série dos valores absolutos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se a gente tem:
sumn=1^infty |an|
e essa série converge, então a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Os termos da série são:
an = (-1)^n-1n raizn
O valor absoluto de |an| = | (-1)^n-1n raizn | = 1n raizn = 1n^3/2 é:
sumn=1^infty 1n^3/2
Então, a série dos valores absolutos é:

Passo 4

Agora, pra saber se essa série dos valores absolutos converge, vamos usar o Teste da Série p. Esse teste diz que a série:
sumn=1^infty 1n^p
converge se sumn=1^infty 1n^3/2 e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1. Então, pelo Teste da Série p, a série dos valores absolutos:
converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original:
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn
é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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