• ( 2 pontos) Uma urna contém quatro bolas brancas e seis pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa caixa e substituidas por bolas verdes. Em seguida, duas bolas são novamente retiradas, ao acaso, da caixa. Calcule a probabilidade de que sejam bolas da mesma cor.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas. Primeiro, vamos remover 3 bolas e substituir por bolas verdes. Depois, retiramos 2 bolas e queremos saber a probabilidade de que essas duas sejam da mesma cor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar como fica a urna após a primeira retirada e substituição. Temos que retirar 3 bolas das 10 iniciais e substituí-las por verdes. Isso pode afetar a quantidade de bolas de cada cor na urna.

Passo 3

Vamos calcular todas as possíveis combinações de retirar 3 bolas de 10. A fórmula para combinações é:
onde é o total de itens e é o número de itens a serem escolhidos. Então,

Passo 4

Agora, vamos considerar as diferentes maneiras de retirar 3 bolas que podem ser brancas, pretas ou uma mistura. Cada cenário vai alterar a quantidade de bolas de cada cor na urna após a substituição.

Passo 5

Vamos analisar os possíveis casos:
  1. Retirar 0 brancas e 3 pretas:
    • Bolas após substituição: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes.
  2. Retirar 1 branca e 2 pretas:
    • Bolas após substituição: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes.
  3. Retirar 2 brancas e 1 preta:
    • Bolas após substituição: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes.
  4. Retirar 3 brancas e 0 pretas:
    • Bolas após substituição: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes.

Passo 6

Para cada caso, vamos calcular a probabilidade de retirar 2 bolas da mesma cor na segunda retirada.
Caso 1: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 2: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 3: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 4: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:

Passo 7

Agora, precisamos considerar a probabilidade de cada um desses casos ocorrer na primeira retirada. Usando combinações:
  1. Retirar 0 brancas e 3 pretas:
  1. Retirar 1 branca e 2 pretas:
  1. Retirar 2 brancas e 1 preta:
  1. Retirar 3 brancas e 0 pretas:

Passo 8

Finalmente, para encontrar a probabilidade total de retirar duas bolas da mesma cor, vamos somar as probabilidades de cada caso multiplicadas pela probabilidade correspondente dentro de cada caso:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor é , ou aproximadamente 28,44%.

Exercícios relacionados

(3 pontos) Definimos a variável como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja .
b) Que proporção das amostras de tamanho 50 terão erro amostral absoluto maior do que ?
Assumindo que a temperatura no interior é normalmente distribuída, teste as hipóteses de que contra a hipótese de que usando um nível de significância .
(3 pontos) Um piloto de fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro apresenta pelo menos um entre dois problemas: de injeção e/ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 0,60 e de bobina, 0,70 . Por outro lado, as probabilidades de o carro retornar à corrida são:
b) , se houver só problema de injeção.
c) , se houver ambos os problemas.
Pergunta-se: c) Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivess com os dois problemas?
(3 pontos) Definimos a variável como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja .
e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a ?