A posiçāo de um corpo em movimento vaira no tempo segundo a equaçāo r(t)=(10+5 t+3 t^2) i-5 t^2 j+20 t k onde as distāncias são medidas em metros e tempo em segundos. Calcule o módulo do deslocamento entre os instantes t=1 e t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre a posição de um corpo em movimento dada pela equação vetorial $ r(t) = \left(10 + 5t + 3t^{2}\right) \mathbf{i} - 5t^{2} \mathbf{j} + 20t \mathbf{k} $. A gente precisa calcular o módulo do deslocamento desse corpo entre os instantes $ t = 1 $ segundo e $ t = 5 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e cálculo de distância no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a posição do corpo no instante $ t = 1 $ segundo. Basta substituir $ t $ na equação:
t = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição no instante $ t = 5 $ segundos:
t = 5

Passo 4

O deslocamento é dado pela diferença entre as posições nos instantes finais e iniciais. Então:
De

Passo 5

Para achar o módulo do deslocamento, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
|De

Resposta

O módulo do deslocamento entre $ t = 1 $ s e $ t = 5 $ s é aproximadamente 171 metros.

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