A posiçāo de um corpo em movimento vaira no tempo segundo a equaçāo
onde as distāncias são medidas em metros e tempo em segundos. Calcule a velocidade e a aceleração nos instantes
e o seus respectivos módulos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde a posição de um corpo em movimento é dada pela equação vetorial:
Aqui, $ r(t) $ representa a posição em metros e $ t $ o tempo em segundos. O que precisamos fazer é calcular a velocidade e a aceleração do corpo no instante $ t = 5 $ segundos, além de encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de $ r(t) $ em relação a $ t $.
Então, temos:
Passo 3
Vamos derivar cada componente de $ r(t) $:
- Para a componente $ \mathbf{i} $:
- Para a componente $ \mathbf{j} $:
- Para a componente $ \mathbf{k} $:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade no instante $ t = 5 $ segundos substituindo $ t $ por 5 na expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Aplicando isso para $ v(5) $:
Passo 6
Agora, vamos para a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Passo 7
Derivando cada componente de $ v(t) $:
- Para a componente $ \mathbf{i} $:
- Para a componente $ \mathbf{j} $:
- Para a componente $ \mathbf{k} $:
Então, a expressão para a aceleração fica:
Passo 8
Como a aceleração não depende do tempo nessa equação, o valor dela é o mesmo para qualquer instante, inclusive para $ t = 5 $ segundos:
Passo 9
Para encontrar o módulo da aceleração, usamos a mesma fórmula da magnitude:
Aplicando isso para $ a(5) $:
Resposta
No instante $ t = 5 $ segundos:
- A velocidade do corpo é $ v(5) = 35, \mathbf{i} - 50, \mathbf{j} + 20, \mathbf{k} $ m/s, com módulo aproximado de 64,22 m/s.
- A aceleração do corpo é $ a(5) = 6, \mathbf{i} - 10, \mathbf{j} $ m/s², com módulo aproximado de 11,66 m/s².