A posiçāo de um corpo em movimento vaira no tempo segundo a equaçāo r(t)=(10+5 t+3 t^2) i-5 t^2 j+20 t k onde as distāncias são medidas em metros e tempo em segundos. Calcule a velocidade e a aceleração nos instantes t=5 s e o seus respectivos módulos.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde a posição de um corpo em movimento é dada pela equação vetorial:
r(t) = (10 + 5t + 3t^2) i - 5t^2 j + 20t k
Aqui, $ r(t) $ representa a posição em metros e $ t $ o tempo em segundos. O que precisamos fazer é calcular a velocidade e a aceleração do corpo no instante $ t = 5 $ segundos, além de encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de $ r(t) $ em relação a $ t $.
Então, temos:
r(t)

Passo 3

Vamos derivar cada componente de $ r(t) $:
  • Para a componente $ \mathbf{i} $: r(t)
    - Para a componente $ \mathbf{j} $:
    i
  • Para a componente $ \mathbf{k} $: ddt (10 + 5t + 3t^2) = 5 + 6t
Então, a expressão para a velocidade fica:
j

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade no instante $ t = 5 $ segundos substituindo $ t $ por 5 na expressão que encontramos:
t = 5
t
v(5) = (5 + 6 times 5) i - 10 times 5 j + 20 k

Passo 5

Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso para $ v(5) $:
v(5)
|v(5)| = raiz35^2 + (-50)^2 + 20^2
|v(5)| = raiz1225 + 2500 + 400
|v(5)| = raiz4125

Passo 6

Agora, vamos para a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = dv(t)dt

Passo 7

Derivando cada componente de $ v(t) $:
  • Para a componente $ \mathbf{i} $: v(t)
    - Para a componente $ \mathbf{j} $:
    i
  • Para a componente $ \mathbf{k} $: ddt (5 + 6t) = 6
Então, a expressão para a aceleração fica:
j

Passo 8

Como a aceleração não depende do tempo nessa equação, o valor dela é o mesmo para qualquer instante, inclusive para $ t = 5 $ segundos:
t = 5

Passo 9

Para encontrar o módulo da aceleração, usamos a mesma fórmula da magnitude:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Aplicando isso para $ a(5) $:
a(5)
|a(5)| = raiz6^2 + (-10)^2 + 0^2
|a(5)| = raiz36 + 100 + 0
|a(5)| = raiz136

Resposta

No instante $ t = 5 $ segundos:
  • A velocidade do corpo é $ v(5) = 35, \mathbf{i} - 50, \mathbf{j} + 20, \mathbf{k} $ m/s, com módulo aproximado de 64,22 m/s.
  • A aceleração do corpo é $ a(5) = 6, \mathbf{i} - 10, \mathbf{j} $ m/s², com módulo aproximado de 11,66 m/s².

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