Se a posição de um elétron em um átomo é medida com uma precisão de 0,0100 nm, (a) qual é a incerteza do elétron na velocidade? (b) Se o elétron tem essa velocidade, qual seria sua energia cinética em eV?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a incerteza na posição de um elétron dentro de um átomo e quer saber duas coisas: (a) qual é a incerteza na velocidade desse elétron, e (b) qual seria a energia cinética dele em elétron-volts (eV) com essa velocidade. Para resolver, vamos usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é uma parte da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que a incerteza na posição ($ \Delta x De \Delta p Deé \hbar $):
hbar
Onde:
  • $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ e $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $ é a constante de Planck.

Passo 3

Queremos encontrar a incerteza na velocidade ($ \Delta v De p $) é dado por:
p
Então, a incerteza no momento ($ \Delta p $) é:
p = m cdot v
Substituindo isso na equação da incerteza de Heisenberg:
De
Agora, isolamos $ \Delta v $:
De

Passo 4

Vamos agora substituir os valores conhecidos na fórmula:
  • $ \hbar = \frac{6,626 \times 10^{-34} , J·s}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} , J·s $
  • Massa do elétron ($ m $) = $ 9,109 \times 10^{-31} , kg $
  • $ \Delta x = 0,0100 , nm = 0,0100 \times 10^{-9} , m = 1,00 \times 10^{-11} , m $
Substituindo na fórmula:
hbar = 6,626 times 10^-34 , J·s2pi approx 1,055 times 10^-34 , J·s

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ \Delta v $:
De
Então, a incerteza na velocidade é de aproximadamente $ 5,79 \times 10^{6} , m/s $.

Passo 6

Agora, para calcular a energia cinética ($ K $) do elétron, usamos a fórmula:
K
Como estamos usando a incerteza na velocidade como uma estimativa para a velocidade do elétron, substituímos $ v $ por $ \Delta v $:
K = 12 m v^2

Passo 7

Calculando o valor de $ K $:
K
Agora, para converter joules para elétron-volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} , J $):
K = 0,5 times 9,109 times 10^-31 times 3,35 times 10^13 approx 1,53 times 10^-17 , J

Resposta

(a) A incerteza na velocidade do elétron é de aproximadamente $ 5,79 \times 10^{6} , m/s $.
(b) A energia cinética do elétron com essa velocidade é de aproximadamente $ 96 , eV $.

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