Se a posição de um elétron em um átomo é medida com uma precisão de
, (a) qual é a incerteza do elétron na velocidade? (b) Se o elétron tem essa velocidade, qual seria sua energia cinética em eV?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a incerteza na posição de um elétron dentro de um átomo e quer saber duas coisas: (a) qual é a incerteza na velocidade desse elétron, e (b) qual seria a energia cinética dele em elétron-volts (eV) com essa velocidade. Para resolver, vamos usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é uma parte da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que a incerteza na posição ($ \Delta x
\Delta p
\hbar $):
Onde:
- $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ e $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $ é a constante de Planck.
Passo 3
Queremos encontrar a incerteza na velocidade ($ \Delta v
p $) é dado por:
Então, a incerteza no momento ($ \Delta p $) é:
Substituindo isso na equação da incerteza de Heisenberg:
Agora, isolamos $ \Delta v $:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores conhecidos na fórmula:
- $ \hbar = \frac{6,626 \times 10^{-34} , J·s}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} , J·s $
- Massa do elétron ($ m $) = $ 9,109 \times 10^{-31} , kg $
- $ \Delta x = 0,0100 , nm = 0,0100 \times 10^{-9} , m = 1,00 \times 10^{-11} , m $
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ \Delta v $:
Então, a incerteza na velocidade é de aproximadamente $ 5,79 \times 10^{6} , m/s $.
Passo 6
Agora, para calcular a energia cinética ($ K $) do elétron, usamos a fórmula:
Como estamos usando a incerteza na velocidade como uma estimativa para a velocidade do elétron, substituímos $ v $ por $ \Delta v $:
Passo 7
Calculando o valor de $ K $:
Agora, para converter joules para elétron-volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} , J $):
Resposta
(a) A incerteza na velocidade do elétron é de aproximadamente $ 5,79 \times 10^{6} , m/s $.
(b) A energia cinética do elétron com essa velocidade é de aproximadamente $ 96 , eV $.