Se a posição de uma partícula é dada por X= 20t- 5t³, onde x está em metros e t em segundos, em que instante (s) a velocidade da partícula é zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde a posição de uma partícula é dada por $ X = 20t - 5t^3 $, com $ X $ em metros e $ t $ em segundos. A pergunta é: em que instante a velocidade dessa partícula é zero? Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada da posição para encontrar a velocidade e depois descobrir quando essa velocidade é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ X $ em relação a $ t $:
X

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada:
v(t) = 20 - 15t^2
Então, a expressão da velocidade é $ v(t) = 20 - 15t^2 $.

Passo 4

Queremos saber quando a velocidade é zero. Então, vamos igualar a velocidade a zero e resolver para $ t $:
t

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
15t^2 = 20 t^2 = 2015 = 43 t = raiz43 = 2raiz3 approx 1,1547 segundos

Resposta

A velocidade da partícula é zero no instante $ t \approx 1,15 $ segundos.

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