A prefeitura de um pequeno municipio do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilinea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
A) R$512.000
B) R$520.000
C) R$528.000
D) R$552.000​

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. A prefeitura quer instalar postes ao longo de uma estrada reta, começando a 80 metros da praça central e aumentando a distância entre cada poste em 20 metros, até chegar a uma distância final de 1.380 metros. Cada poste custa no máximo R$ 8.000. Nosso objetivo é descobrir quanto a prefeitura vai gastar no total com esses postes.
Vamos usar a Matemática, especificamente a área de Sequências Aritméticas, para resolver esse problema.

Passo 2

Identificamos que as distâncias dos postes formam uma sequência aritmética, onde:
  • Primeiro termo ( a1): 80 metros
  • Diferença comum ( d): 20 metros
  • Último termo ( an): 1.380 metros

Passo 3

Para encontrar o número total de postes ( n), usamos a fórmula do n-ésimo termo da sequência aritmética:
an = a1 + (n - 1) times d
Substituindo os valores que já sabemos:
1380 = 80 + (n - 1) times 20

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar n:
  1. Subtraia 80 de ambos os lados:
    1380 - 80 = (n - 1) times 20
    1300 = (n - 1) times 20
  2. Divida ambos os lados por 20:
    130020 = n - 1
    65 = n - 1
  3. Some 1 em ambos os lados para encontrar n:
    n = 65 + 1
    n = 66
Então, serão necessários 66 postes.

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo total que a prefeitura irá gastar:
Custo Total = Número de Postes times Custo por Poste ú
Substituindo os valores:
Custo Total = 66 times 8000 = 528000 R$

Resposta

O maior valor que a prefeitura poderá gastar é R$ 528.000, opção C).

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