A prefeitura de um pequeno municipio do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilinea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
A) R$512.000
B) R$520.000
C) R$528.000
D) R$552.000
A) R$512.000
B) R$520.000
C) R$528.000
D) R$552.000
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. A prefeitura quer instalar postes ao longo de uma estrada reta, começando a 80 metros da praça central e aumentando a distância entre cada poste em 20 metros, até chegar a uma distância final de 1.380 metros. Cada poste custa no máximo R$ 8.000. Nosso objetivo é descobrir quanto a prefeitura vai gastar no total com esses postes.
Vamos usar a Matemática, especificamente a área de Sequências Aritméticas, para resolver esse problema.
Passo 2
Identificamos que as distâncias dos postes formam uma sequência aritmética, onde:
- Primeiro termo (
): 80 metros - Diferença comum (
): 20 metros - Último termo (
): 1.380 metros
Passo 3
Para encontrar o número total de postes (
), usamos a fórmula do
-ésimo termo da sequência aritmética:
Substituindo os valores que já sabemos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
-
Subtraia 80 de ambos os lados:
-
Divida ambos os lados por 20:
-
Some 1 em ambos os lados para encontrar
:
Então, serão necessários 66 postes.
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo total que a prefeitura irá gastar:
Substituindo os valores:
Resposta
O maior valor que a prefeitura poderá gastar é R$ 528.000, opção C).