Uma prestadora de serviços combina um prazo de 9 dias utilizando 12 máquinas, para executar certo trabalho. Ao final do quarto dia, 4 máquinas estragam, não sendo substituídas e não havendo interrupção do trabalho. As máquinas levam 3 dias para serem consertadas, retornando ao trabalho no dia seguinte. Para que seja cumprido o prazo combinado no início, a prestadora coloca, além das 12 máquinas, mais x máquinas iguais às primeiras. É correto afirmar que x é igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma empresa que usa 12 máquinas para realizar um trabalho que deve durar 9 dias. No quarto dia, 4 dessas máquinas quebram e levam 3 dias para serem consertadas. Para cumprir o prazo original, a empresa decide adicionar mais máquinas iguais às que já tem. Precisamos descobrir quantas máquinas adicionais, representadas por $ x $, são necessárias para garantir que o trabalho seja concluído em 9 dias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de trabalho total que precisa ser feito, medida em “máquina-dias”. Como 12 máquinas trabalham por 9 dias, o trabalho total é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece até o quarto dia. Nos primeiros 4 dias, todas as 12 máquinas estão funcionando, então o trabalho realizado nesse período é:
Passo 4
No quarto dia, 4 máquinas quebram, restando 8 máquinas funcionando. Essas 4 máquinas ficarão inativas por 3 dias (dia 5, 6 e 7) e voltarão ao trabalho no dia 8.
Passo 5
Vamos calcular o trabalho realizado do dia 5 ao dia 9 com apenas 8 máquinas funcionando durante esses 3 dias:
Passo 6
No dia 8 e 9, as 4 máquinas consertadas retornam, totalizando novamente 12 máquinas trabalhando. O trabalho nesses 2 dias é:
Passo 7
Somando todo o trabalho realizado até o dia 9:
Passo 8
Para cumprir o trabalho total de 108 máquina-dias em 9 dias, precisamos calcular quantas máquinas são necessárias para realizar:
Passo 9
No entanto, já percebemos que sem máquinas adicionais, até o dia 9 conseguimos realizar apenas 96 máquina-dias. Precisamos calcular quantas máquinas extras $ x $ devem ser adicionadas para alcançar os 108 máquina-dias.
Vamos considerar que as máquinas extras também operam durante todo o período:
As 12 + $ x $ máquinas trabalhariam os 4 primeiros dias:
Dos dias 5 ao 7, apenas 8 + $ x $ máquinas estariam funcionando (já que 4 das originais estão quebradas):
E nos dias 8 e 9, novamente 12 + $ x $ máquinas trabalhando:
Somando tudo isso, temos que:
Passo 10
Vamos resolver a equação passo a passo:
No entanto, como não podemos adicionar uma fração de uma máquina, precisamos arredondar para o próximo número inteiro. Portanto, $ x = 2 $.
Passo 11
Verificamos que adicionando 2 máquinas, o total de máquinas será 14. Recalculando com 14 máquinas:
Primeiros 4 dias:
Dias 5 a 7:
Dias 8 e 9:
Total:
Isso excede o necessário, então podemos ajustar para $ x = 1 $:
Primeiros 4 dias:
Dias 5 a 7:
Dias 8 e 9:
Total:
Ainda não alcança 108, então realmente precisamos de $ x = 2 $.
Resposta
A quantidade de máquinas adicionais necessárias é 2.