Uma prestadora de serviços combina um prazo de 9 dias utilizando 12 máquinas, para executar certo trabalho. Ao final do quarto dia, 4 máquinas estragam, não sendo substituídas e não havendo interrupção do trabalho. As máquinas levam 3 dias para serem consertadas, retornando ao trabalho no dia seguinte. Para que seja cumprido o prazo combinado no início, a prestadora coloca, além das 12 máquinas, mais x máquinas iguais às primeiras. É correto afirmar que x é igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma empresa que usa 12 máquinas para realizar um trabalho que deve durar 9 dias. No quarto dia, 4 dessas máquinas quebram e levam 3 dias para serem consertadas. Para cumprir o prazo original, a empresa decide adicionar mais máquinas iguais às que já tem. Precisamos descobrir quantas máquinas adicionais, representadas por $ x $, são necessárias para garantir que o trabalho seja concluído em 9 dias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de trabalho total que precisa ser feito, medida em “máquina-dias”. Como 12 máquinas trabalham por 9 dias, o trabalho total é:
Trabalho total = 12 times 9 = 108 máquina-dias á

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece até o quarto dia. Nos primeiros 4 dias, todas as 12 máquinas estão funcionando, então o trabalho realizado nesse período é:
Trabalho nos primeiros 4 dias = 12 times 4 = 48 máquina-dias á

Passo 4

No quarto dia, 4 máquinas quebram, restando 8 máquinas funcionando. Essas 4 máquinas ficarão inativas por 3 dias (dia 5, 6 e 7) e voltarão ao trabalho no dia 8.

Passo 5

Vamos calcular o trabalho realizado do dia 5 ao dia 9 com apenas 8 máquinas funcionando durante esses 3 dias:
Trabalho do dia 5 ao 7 = 8 times 3 = 24 máquina-dias á

Passo 6

No dia 8 e 9, as 4 máquinas consertadas retornam, totalizando novamente 12 máquinas trabalhando. O trabalho nesses 2 dias é:
Trabalho do dia 8 ao 9 = 12 times 2 = 24 máquina-dias á

Passo 7

Somando todo o trabalho realizado até o dia 9:
Trabalho total realizado = 48 + 24 + 24 = 96 máquina-dias á

Passo 8

Para cumprir o trabalho total de 108 máquina-dias em 9 dias, precisamos calcular quantas máquinas são necessárias para realizar:
Máquinas necessárias times 9 = 108 áá
Máquinas necessárias = 1089 = 12 áá

Passo 9

No entanto, já percebemos que sem máquinas adicionais, até o dia 9 conseguimos realizar apenas 96 máquina-dias. Precisamos calcular quantas máquinas extras $ x $ devem ser adicionadas para alcançar os 108 máquina-dias.
Vamos considerar que as máquinas extras também operam durante todo o período:
As 12 + $ x $ máquinas trabalhariam os 4 primeiros dias:
Dos dias 5 ao 7, apenas 8 + $ x $ máquinas estariam funcionando (já que 4 das originais estão quebradas):
x
E nos dias 8 e 9, novamente 12 + $ x $ máquinas trabalhando:
x
Somando tudo isso, temos que:
(12 + x) times 4

Passo 10

Vamos resolver a equação passo a passo:
4(12 + x) + 3(8 + x) + 2(12 + x) = 108
48 + 4x + 24 + 3x + 24 + 2x = 108
(4x + 3x + 2x) + (48 + 24 + 24) = 108
9x + 96 = 108
9x = 108 - 96
9x = 12
x = 129
x = 43
No entanto, como não podemos adicionar uma fração de uma máquina, precisamos arredondar para o próximo número inteiro. Portanto, $ x = 2 $.

Passo 11

Verificamos que adicionando 2 máquinas, o total de máquinas será 14. Recalculando com 14 máquinas:
Primeiros 4 dias:
14 times 4 = 56
Dias 5 a 7:
8 + 2 = 10 times 3 = 30
Dias 8 e 9:
14 times 2 = 28
Total:
56 + 30 + 28 = 114 máquina-dias á
Isso excede o necessário, então podemos ajustar para $ x = 1 $:
Primeiros 4 dias:
x = 1
Dias 5 a 7:
13 times 4 = 52
Dias 8 e 9:
8 + 1 = 9 times 3 = 27
Total:
13 times 2 = 26 á
Ainda não alcança 108, então realmente precisamos de $ x = 2 $.

Resposta

A quantidade de máquinas adicionais necessárias é 2.

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