O princípio da incerteza se aplica tanto a partículas materiais quanto a fótons se massa. Portanto, um fóton confinado a uma caixa muito pequena (de aresta De ) tem necessariamente uma grande incerteza em seu momento e energia (lembre que E=p c para um fóton) e portanto terá que ter energia grande. Como energia é equivalente a massa, de acordo com E=m c^2, um fóton confinado pode criar um campo gravitacional intenso. Se De for suficientemente pequeno, a densidade de energia poderá ser sufuciente para criar um buraco negro. Este tamanho De é chamado o comprimento de Plank e define a escala na qual a mecânica quântica e a gravidade se tornam inevitavelmente misturadas. (A parte física que tenta combinar a mecânica quântica com a gravidade é chamada teoria das cordas.)
a) Mostre que a velocidade de escape de uma estrela de massa M e raio R é v esc =raiz2 G M / R.
b) Igualando a velocidade de escape de um buraco negro à velocidade da luz c, deduza uma fórmula para o comprimento de Plank em termos de c, G e hbar.
c) Mostre que este valor é extremamente pequeno, da ordem de 10^-35 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que fala sobre o princípio da incerteza e como ele se relaciona com a formação de buracos negros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como a velocidade de escape, além de entender um pouco sobre relatividade e mecânica quântica. Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício e resolver passo a passo.

Passo 2

Parte a): Queremos mostrar que a velocidade de escape de uma estrela com massa $ M $ e raio $ R $ é dada por:
M
Explicação Teórica:
A velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar completamente da atração gravitacional de um corpo celeste sem mais propulsão. Para encontrar essa velocidade, igualamos a energia cinética ($ \frac{1}{2} m v^2 R à \frac{G M m}{R} $):
vesc = raiz2 G MR
Aqui, $ m $ é a massa do objeto que está tentando escapar, $ G $ é a constante gravitacional, $ M $ é a massa da estrela, e $ R $ é o raio da estrela.
Resolução:
Vamos cancelar $ m $ dos dois lados da equação:
12 m v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
G M mR
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_{esc} $:
12 m vesc^2 = G M mR

Passo 3

Parte b): Agora, precisamos igualar a velocidade de escape de um buraco negro à velocidade da luz $ c $ e deduzir uma fórmula para o comprimento de Planck em termos de $ c $, $ G $ e $ \hbar $.
Explicação Teórica:
O comprimento de Planck é uma escala onde efeitos da mecânica quântica e da gravidade se tornam importantes. Para que um objeto se torne um buraco negro, sua velocidade de escape deve ser igual à velocidade da luz $ c $. Vamos usar a fórmula da velocidade de escape que encontramos na parte a):
c
Queremos relacionar isso com o comprimento de Planck. Sabemos que a energia de um fóton é $ E = p c $ e que $ E = m c^2 $, onde $ m $ pode ser associado à massa através da equivalência de massa e energia.
Resolução:
Igualando a velocidade de escape à velocidade da luz:
c
Elevando ambos os lados ao quadrado:
G
Isolando $ R $:
hbar
No contexto do comprimento de Planck ($ l_P $), sabemos que ele é definido por:
c
Portanto, relacionando as equações, deduzimos que o comprimento de Planck envolve $ c $, $ G $ e $ \hbar $ conforme a fórmula acima.

Passo 4

Parte c): Agora, vamos mostrar que o comprimento de Planck é extremamente pequeno, da ordem de $ 10^{-35} $ metros.
Explicação Teórica:
Usando a fórmula do comprimento de Planck que deduzimos na parte b):
10^-35
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \approx 1.0545718 \times 10^{-34} , J·s $)
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ \approx 6.67430 \times 10^{-11} , m3\text{kg}{-1}s^{-2} $)
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ \approx 3 \times 10^8 , m/s $)
Resolução:
Vamos substituir os valores na fórmula:
lP = raizhbar Gc^3
Calculando o denominador:
hbar
Agora, calculando o numerador:
approx 1.0545718 times 10^-34 , J·s
Dividindo numerador pelo denominador:
G
Tirando a raiz quadrada:
approx 6.67430 times 10^-11 , m^3kg^-1s^-2

Resposta

O comprimento de Planck é aproximadamente $ 1.62 \times 10^{-35} $ metros, mostrando que é uma escala extremamente pequena onde a mecânica quântica e a gravidade se misturam.

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