A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1/3. Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A questão fala sobre a chance de um casal ter filhos com olhos azuis. A gente precisa calcular a probabilidade de, em 4 filhos, no máximo 2 terem olhos azuis. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que “no máximo dois” significa. Isso quer dizer que queremos a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 filhos com olhos azuis em 4 filhos no total.

Passo 3

Para calcular isso, vamos somar as probabilidades individuais de ter exatamente 0, exatamente 1 e exatamente 2 filhos com olhos azuis. Ou seja:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é:
P(X=k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Aqui, $ n $ é o número total de tentativas (filhos), $ k $ é o número de sucessos desejados (filhos com olhos azuis), e $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
P(X=0) = binom40 times (13)^0 times (23)^4
  1. Para $ k = 1 $:
P(X=0) = 1 times 1 times (1681) = 1681
k = 1
  1. Para $ k = 2 $:
P(X=1) = binom41 times (13)^1 times (23)^3
P(X=1) = 4 times 13 times 827 = 3281

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter no máximo 2 filhos com olhos azuis:
P(X <= 2) = 1681 + 3281 + 2481 = 7281
Simplificando a fração:
7281 = 89

Resposta

A probabilidade de que no máximo dois dos quatro filhos tenham olhos azuis é 89.

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