Para o problema anterior, suponha que o desvio padrão da população não seja conhecido, e o desvio padrão da amostra seja s = R$ 200. Nestas condições, qual seria o intervalo de confiança para esta média? Por que este intervalo é maior que o anterior?
R: R$ 3342,44 a R$ 3507,45

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Estatística, mais especificamente sobre Intervalo de Confiança para a Média. A questão pede para a gente calcular o intervalo de confiança quando não conhecemos o desvio padrão da população e, ao invés disso, utilizamos o desvio padrão da amostra, que é de R$ 200. Para resolver isso, vamos precisar usar a distribuição t de Student, já que o desvio padrão da população não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando o desvio padrão da população ( ) não é conhecido. Nesse caso, usamos o desvio padrão da amostra ( ) e a distribuição t. A fórmula é:
Onde:
  • é a média da amostra,
  • é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança específico e graus de liberdade ( ),
  • é o desvio padrão da amostra,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que precisamos:
  • Desvio padrão da amostra ( ): R$ 200
  • Tamanho da amostra ( ): Geralmente fornecido no problema anterior. Vamos supor que seja para este exemplo.
  • Grau de liberdade ( ):
  • Nível de confiança: Suponhamos que seja 95%. Então, e .

Passo 4

Precisamos encontrar o valor crítico . Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora, encontramos que:

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro:

Passo 6

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança. Supondo que a média da amostra ( ) seja R$ 3425,45, temos:
Isso resulta em:
Arredondando para dois casas decimais, temos:

Resposta

R$ 3342,44 a R$ 3507,45
Esse intervalo de confiança é maior que o anterior porque, ao não conhecermos o desvio padrão da população e usarmos o desvio padrão da amostra, introduzimos mais incerteza na estimativa. Por isso, para manter o mesmo nível de confiança, o intervalo precisa ser mais amplo.

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R: 0,1711
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