Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e . Use .
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um teste de hipóteses para comparar duas médias, onde a hipótese nula é que as duas médias são iguais ( ) e a hipótese alternativa é que elas são diferentes ( ). As variâncias são conhecidas ( e ), temos os tamanhos das amostras ( e ), as médias das amostras ( e ) e o nível de significância ( ). No item b, vamos ver como conduzir esse teste usando um intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança pode nos ajudar a decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Vamos construir um intervalo de confiança para a diferença entre as duas médias ( ).

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Aqui, é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de . Como , estamos construindo um intervalo de confiança de 95%.

Passo 4

Vamos calcular o valor crítico . Para um intervalo de confiança de 95%, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos montar o intervalo de confiança:
Primeiro, calculamos a diferença das médias:

Passo 7

Agora, calculamos a margem de erro:

Passo 8

Finalmente, montamos o intervalo de confiança:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias é aproximadamente . Como esse intervalo inclui o valor 0, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%.

Exercícios relacionados

0 diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas maquinas extrusoras diferentes, esta sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos e são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são , e e , respectivamente. Suponha que e que os dados sejam retirados de uma população normal.
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo.
Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e . Use .
a) Teste a hipótese e encontre o valor .
Sabe-se que dos edifícios construídos em uma grande cidade apresentam problemas estéticos relevantes em menos de 5 anos após a entrega da obra. Considerando a seleção de uma amostra aleatória simples com 200 edifícios com 5 anos, qual é a probabilidade de menos de 90 deles apresentarem problemas estéticos relevantes (considerar que não tenha havido obras de reparo nos edifícios selecionados)?
R: 0,1711
Para o problema anterior, suponha que o desvio padrão da população não seja conhecido, e o desvio padrão da amostra seja s = R$ 200. Nestas condições, qual seria o intervalo de confiança para esta média? Por que este intervalo é maior que o anterior?
R: R$ 3342,44 a R$ 3507,45