Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e . Use .
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um teste de hipóteses para comparar duas médias, onde a hipótese nula é que as duas médias são iguais () e a hipótese alternativa é que elas são diferentes (). As variâncias são conhecidas ( e ), temos os tamanhos das amostras ( e ), as médias das amostras ( e ) e o nível de significância (). No item b, vamos ver como conduzir esse teste usando um intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança pode nos ajudar a decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Vamos construir um intervalo de confiança para a diferença entre as duas médias ().
Passo 3
Para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Aqui, é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de . Como , estamos construindo um intervalo de confiança de 95%.
Passo 4
Vamos calcular o valor crítico . Para um intervalo de confiança de 95%, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, podemos montar o intervalo de confiança:
Primeiro, calculamos a diferença das médias:
Passo 7
Agora, calculamos a margem de erro:
Passo 8
Finalmente, montamos o intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias é aproximadamente . Como esse intervalo inclui o valor 0, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%.