No processo de cristalização deseja-se, entre outros objetivos, minimizar a integral da taxa de cristalização (f). Esta é definida como:
f equiv integral0^t kg exp (-Eg / R T)(C-CsCs)^g d t
onde kg é a constante de cristalização (mu m / min), Eg / R é a energia de ativação do crescimento ponderada pela constante dos gases (K), g é um expoente relativo a taxa de crescimento (-), C e Cs (saturação) representam as concentrações do soluto (g de soluto/g de solvente), T é a temperatura (K) e t é o tempo total de operação (min). Diante do que foi apresentado, determine a unidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a unidade de na expressão da taxa de cristalização. O que precisamos fazer é analisar as unidades de cada componente da fórmula para descobrir qual é a unidade final de . Vamos precisar lembrar como manipular unidades e entender um pouquinho sobre integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da taxa de cristalização:
f equiv integral0^t kg exp (-EgR T)(C-CsCs)^g d t
Aqui, é o integral ao longo do tempo de várias componentes multiplicadas. Nosso objetivo é descobrir a unidade final dessa integral.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da integranda (a coisa dentro da integral) para identificar suas unidades:
  1. : A constante de cristalização tem a unidade de micrômetros por minuto ( ).
  2. : Essa exponencial é uma função matemática que não tem unidade. Quando você tem uma exponencial de uma razão sem unidade dentro, o resultado é adimensional (sem unidades).
  3. : Tanto quanto são concentrações com unidades de gramas de soluto por grama de solvente ( ). Quando você faz uma razão de duas quantidades iguais, as unidades se cancelam, ficando novamente adimensional. Elevando esse resultado a uma potência (que também é adimensional), continua sem unidades.
  4. : O diferencial de tempo tem a unidade de minutos ( ).

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todas essas partes para encontrar a unidade da integranda:
  • ( mu m/min ) times (adimensional) times (adimensional) times min = mu m :
  • : adimensional
  • : adimensional
  • :
Multiplicando tudo:

Passo 5

Finalmente, ao integrar essa expressão em relação ao tempo , estamos somando todas essas pequenas contribuições de ao longo de , mas como a unidade já saiu como , a unidade final de será simplesmente micrômetros ( ).

Resposta

A unidade de é micrômetros ( ).

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