Determine as componentes pares e ímpares dos seguintes sinais:
(a) x(t)=sin (t)+cos (t)+sin (t) cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as componentes pares e ímpares do sinal . Para isso, vamos usar conceitos de funções pares e ímpares e aplicar as fórmulas para separar essas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: É aquela que satisfaz . Ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: É aquela que satisfaz . Ou seja, ela é simétrica em relação à origem.

Passo 3

Agora, para encontrar as componentes par e ímpar de xe(t) = x(t) + x(-t)2 , usamos as seguintes fórmulas:
  • Componente Par ( xo(t) = x(t) - x(-t)2 ):
  • Componente Ímpar ( ):

Passo 4

Vamos calcular x(-t) = sin(-t) + cos(-t) + sin(-t)cos(-t) :
sin(-t) = -sin(t) e cos(-t) = cos(t)
Sabemos que:
x(-t) = -sin(t) + cos(t) + (-sin(t))cos(t) = -sin(t) + cos(t) - sin(t)cos(t)
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as fórmulas para encontrar as componentes par e ímpar.
Componente Par ( xe(t) = x(t) + x(-t)2 = [sin(t) + cos(t) + sin(t)cos(t)] + [-sin(t) + cos(t) - sin(t)cos(t)]2 ):
xe(t) = ( sin(t) - sin(t) ) + ( cos(t) + cos(t) ) + ( sin(t)cos(t) - sin(t)cos(t) )2 = 2cos(t)2 = cos(t)
Simplificando:
xo(t) = x(t) - x(-t)2 = [sin(t) + cos(t) + sin(t)cos(t)] - [-sin(t) + cos(t) - sin(t)cos(t)]2
Componente Ímpar ( xo(t) = ( sin(t) + sin(t) ) + ( cos(t) - cos(t) ) + ( sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) )2 = 2sin(t) + 2sin(t)cos(t)2 = sin(t) + sin(t)cos(t) ):
Simplificando:

Resposta

As componentes do sinal xe(t) = cos(t) são:
xo(t) = sin(t) + sin(t)cos(t)

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