Determine as componentes pares e ímpares dos seguintes sinais:
(b) x(t)=1+t+3 t^2+5 t^3+9 t^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar as componentes pares e ímpares do sinal . A gente vai utilizar os conceitos de sinais pares e ímpares da matemática, que ajudam a decompor qualquer função em duas partes: uma que é simétrica em relação ao eixo vertical (par) e outra que é simétrica em relação à origem (ímpar).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar as componentes pares e ímpares de uma função xpar(t) = x(t) + x(-t)2 . As fórmulas são:
xímpar(t) = x(t) - x(-t)2
í
A componente par é a parte da função que não muda quando é substituído por , e a componente ímpar muda de sinal.

Passo 3

Vamos calcular x(-t) = 1 + (-t) + 3(-t)^2 + 5(-t)^3 + 9(-t)^4 substituindo x(-t) = 1 - t + 3t^2 - 5t^3 + 9t^4 por na função original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a componente par xpar(t) = x(t) + x(-t)2 = (1 + t + 3t^2 + 5t^3 + 9t^4) + (1 - t + 3t^2 - 5t^3 + 9t^4)2 :
xpar(t) = 2 + 6t^2 + 18t^42 = 1 + 3t^2 + 9t^4
Somando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a componente ímpar xímpar(t) = x(t) - x(-t)2 = (1 + t + 3t^2 + 5t^3 + 9t^4) - (1 - t + 3t^2 - 5t^3 + 9t^4)2 í:
xímpar(t) = 2t + 10t^32 = t + 5t^3 í
Subtraindo os termos:
í

Resposta

As componentes do sinal são:
xpar(t) = 1 + 3t^2 + 9t^4
xímpar(t) = t + 5t^3 í

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