Procura-se calcular o diâmetro interno de um tubo cilíndrico de vidro com 25,0 cm de comprimento, fechado de um lado. Para isso, o tubo é abastecido com etanol. A massa de etanol necessária para encher o tubo é 19,81 g. Se a densidade do etanol é 0,789 g/mL, qual é, então, o valor do diâmetro interno do tubo, em centímetros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o diâmetro interno de um tubo de vidro cilíndrico que tem 25,0 cm de comprimento e está fechado de um lado. Para isso, a gente vai usar etanol para encher o tubo. A massa de etanol necessária é 19,81 g e a densidade do etanol é 0,789 g/mL. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é de Física, mais especificamente de Materiais e suas propriedades, como densidade e volume. Vamos precisar usar a relação entre massa, densidade e volume para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona massa, densidade e volume. A densidade (ρ) é igual à massa (m) dividida pelo volume (V):
Mas a gente quer achar o volume, então vamos rearranjar essa fórmula para:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. A massa do etanol é 19,81 g e a densidade é 0,789 g/mL:
Então, o volume de etanol necessário para encher o tubo é aproximadamente 25,12 mL.
Passo 4
Sabemos que o tubo é cilíndrico, e o volume de um cilindro é dado por:
Onde $ r $ é o raio interno do tubo e $ h $ é a altura (ou neste caso, o comprimento) do tubo. A gente já sabe que $ h = 25,0 $ cm e $ V \approx 25,12 $ mL. Mas precisamos ter atenção às unidades aqui: 1 mL é igual a 1 cm³, então podemos usar diretamente cm nos cálculos.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula do volume do cilindro:
Agora, vamos resolver para $ r^2 $:
Passo 6
Para encontrar o raio $ r $, vamos tirar a raiz quadrada de 0,32:
Passo 7
Finalmente, o diâmetro $ d $ é o dobro do raio:
Resposta
O diâmetro interno do tubo é aproximadamente 1,13 centímetros.