A procura mensal de um certo artigo é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade:
f(x)= x4, & 0 <= x <= 2 1-x4, & 2 <= x <= 4 0, & x notin[0 ; 4]
a. Calcule a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função densidade de probabilidade $ f(x) $ de uma variável aleatória $ X $ e precisa encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Basicamente, queremos saber a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Para isso, vamos integrar a função densidade $ f(x) $ desde o início do intervalo até o ponto $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os intervalos onde $ f(x) $ está definida:
  • Para $ 0 \leq x \leq 2 $, $ f(x) = \frac{x}{4} $
  • Para $ 2 \leq x \leq 4 $, $ f(x) = 1 - \frac{x}{4} $
  • Fora desses intervalos, $ f(x) = 0 $
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
f(x)

Passo 3

Vamos dividir em casos com base nos valores de $ x $:
  1. Quando $ x < 0 $:
    Nesse caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, a probabilidade acumulada também é zero:
    x
  2. Quando $ 0 \leq x \leq 2 $:
    Aqui, precisamos integrar $ f(t) = \frac{t}{4} $ de 0 até $ x $:
    x < 0
    Calculando a integral:
    f(x) = 0
  3. Quando $ 2 < x \leq 4 $:
    Agora, $ f(t) $ muda de expressão em $ t = 2 $. Então, dividimos a integral em duas partes:
    x < 0
    Primeira integral:
    F(x) = 0
    Segunda integral:
    0 <= x <= 2
    Somando as duas partes:
    f(t) = t4
  4. Quando $ x > 4 $:
    Para $ x $ maior que 4, toda a área sob $ f(x) $ foi acumulada, então:
    x

Resposta

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ de $ X $ é dada por:
F(x)

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