Numa loja de eletrodomésticos as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B são variáveis aleatórias X e Y com distribuição conjunta dada por:
X downarrow Y 1 2 3
1 0,25 0,25 0
2 0 0,25 0,25
e. Sabe-se que foi vendido um frigorífico da marca A. Qual a distribuição da variável aleatória Y mid X=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B em uma loja. As variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ representam, respectivamente, as vendas da marca A e da marca B. A questão pede para encontrar a distribuição de $ Y $ dado que uma unidade da marca A foi vendida, ou seja, $ Y \mid X=1 $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ Y \mid X=1 $. Isso representa a distribuição das vendas da marca B sabendo que já vendemos 1 frigorífico da marca A. Para encontrar essa distribuição, precisamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Y $ quando $ X = 1 $.

Passo 3

A probabilidade condicional é dada pela fórmula:
P(Y = y mid X = 1) = P(X = 1, Y = y)P(X = 1)
Onde:
  • $ P(X = 1, Y = y) $ é a probabilidade conjunta de vender 1 frigorífico da marca A e $ y $ da marca B.
  • $ P(X = 1) $ é a probabilidade total de vender 1 frigorífico da marca A, independente da marca B.

Passo 4

Vamos encontrar $ P(X = 1) $ somando todas as probabilidades na linha onde $ X = 1 $:
P(X = 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(Y = y \mid X = 1) $ para cada valor de $ Y $:
  • Para $ Y = 1 $:
P(Y = y mid X = 1)
  • Para $ Y = 2 $:
Y
  • Para $ Y = 3 $:
Y = 1

Resposta

A distribuição da variável aleatória $ Y \mid X=1 $ é:
Y mid X=1
P(Y = 1 mid X = 1) = 0,5
P(Y = 2 mid X = 1) = 0,5

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