Um produto tem sua venda anunciada em uma parcela mensal de R$ 800,00 com entrada de R$ 200,00, sob regime e taxa de juros compostos de 2% a.m. Um comprador interessado em adquirir o produto se propõe a pagar em duas vezes mensais e iguais a R$ 600,00 sob o mesmo regime de juros, mas sem entrada. Determine o valor da taxa de juros compostos da proposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produto que pode ser comprado de duas maneiras diferentes, com diferentes planos de pagamento e taxas de juros compostos. No primeiro plano, há uma entrada de R$ 200,00 e parcelas mensais de R$ 800,00 com juros de 2% ao mês. No segundo plano, o comprador propõe pagar em duas parcelas iguais de R$ 600,00, sem entrada, e queremos descobrir qual seria a taxa de juros composta nesse novo plano. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de juros compostos e entender como calcular o valor presente das parcelas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor presente (PV) do primeiro plano de pagamento, que inclui a entrada e as parcelas com juros de 2% ao mês. O valor presente é quanto o comprador está efetivamente pagando no início, levando em conta os juros.
A fórmula do valor presente para parcelas mensais é:
PV = Entrada + sumt=1^n PMT(1 + i)^t
Onde:
  • $ PV $ é o valor presente
  • $ PMT $ é o valor da parcela
  • $ i $ é a taxa de juros mensal
  • $ t $ é o número da parcela
No primeiro plano:
  • Entrada = R$ 200,00
  • Parcelas (PMT) = R$ 800,00
  • Taxa de juros (i) = 2% ou 0,02
  • Número de parcelas (n) = vamos supor que seja por 1 mês, já que não foi especificado
Então,
PV

Passo 3

Agora, vamos olhar para a proposta do comprador. Ele quer pagar duas parcelas iguais de R$ 600,00, sem entrada. Queremos descobrir qual é a taxa de juros que faz com que o valor presente dessas parcelas seja igual ao valor presente do primeiro plano (R$ 984,31).
Usamos a mesma fórmula do valor presente:
600,00, sem entrada Queremos descobrir qual é a taxa de juros que faz com que o valor presente dessas parcelas seja igual ao valor presente do primeiro plano (R
Aqui:
  • $ PV = 984,31 $
  • $ PMT = 600 $
  • $ n = 2 $ (duas parcelas)
  • $ i $ é a taxa que queremos encontrar
Então,
PV = sumt=1^n PMT(1 + i)^t

Passo 4

Para encontrar a taxa $ i $, precisamos resolver a equação:
i
Vamos simplificar substituindo $ 1 + i = x $:
6001 + i + 600(1 + i)^2 = 984,31
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
1 + i = x
Rearranjando a equação:
600x + 600x^2 = 984,31

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
984,31x^2 - 600x - 600 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 984,31 $
  • $ b = -600 $
  • $ c = -600 $
Calculando o discriminante:
a = 984,31
Calculando as raízes:
b = -600
Considerando apenas a solução positiva:
c = -600

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição $ 1 + i = x $, então:
1 + i = x
Subtraindo 1 de ambos os lados para encontrar $ i $:
1 + i = 1,143

Resposta

A taxa de juros compostos da proposta do comprador é de aproximadamente 14,3% ao mês.

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