Um produto tem sua venda anunciada em uma parcela mensal de R$ 800,00 com entrada de R$ 200,00, sob regime e taxa de juros compostos de 2% a.m. Um comprador interessado em adquirir o produto se propõe a pagar em duas vezes mensais e iguais a R$ 600,00 sob o mesmo regime de juros, mas sem entrada. Determine o valor da taxa de juros compostos da proposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produto que pode ser comprado de duas maneiras diferentes, com diferentes planos de pagamento e taxas de juros compostos. No primeiro plano, há uma entrada de R$ 200,00 e parcelas mensais de R$ 800,00 com juros de 2% ao mês. No segundo plano, o comprador propõe pagar em duas parcelas iguais de R$ 600,00, sem entrada, e queremos descobrir qual seria a taxa de juros composta nesse novo plano. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de juros compostos e entender como calcular o valor presente das parcelas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor presente (PV) do primeiro plano de pagamento, que inclui a entrada e as parcelas com juros de 2% ao mês. O valor presente é quanto o comprador está efetivamente pagando no início, levando em conta os juros.
A fórmula do valor presente para parcelas mensais é:
Onde:
- $ PV $ é o valor presente
- $ PMT $ é o valor da parcela
- $ i $ é a taxa de juros mensal
- $ t $ é o número da parcela
No primeiro plano:
- Entrada = R$ 200,00
- Parcelas (PMT) = R$ 800,00
- Taxa de juros (i) = 2% ou 0,02
- Número de parcelas (n) = vamos supor que seja por 1 mês, já que não foi especificado
Então,
Passo 3
Agora, vamos olhar para a proposta do comprador. Ele quer pagar duas parcelas iguais de R$ 600,00, sem entrada. Queremos descobrir qual é a taxa de juros que faz com que o valor presente dessas parcelas seja igual ao valor presente do primeiro plano (R$ 984,31).
Usamos a mesma fórmula do valor presente:
Aqui:
- $ PV = 984,31 $
- $ PMT = 600 $
- $ n = 2 $ (duas parcelas)
- $ i $ é a taxa que queremos encontrar
Então,
Passo 4
Para encontrar a taxa $ i $, precisamos resolver a equação:
Vamos simplificar substituindo $ 1 + i = x $:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
Rearranjando a equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 984,31 $
- $ b = -600 $
- $ c = -600 $
Calculando o discriminante:
Calculando as raízes:
Considerando apenas a solução positiva:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição $ 1 + i = x $, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados para encontrar $ i $:
Resposta
A taxa de juros compostos da proposta do comprador é de aproximadamente 14,3% ao mês.