Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 23 ⁄, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a
a) 2/3
b) 4/9
c) 20/27
d)16/81
a) 2/3
b) 4/9
c) 20/27
d)16/81
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um atleta participando de um torneio com três provas. A chance dele ganhar cada prova é de $ \frac{2}{3} $. Para ganhar o torneio, ele precisa ganhar pelo menos duas dessas provas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de ele vencer o torneio. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “ganhar pelo menos duas provas”. Isso inclui duas situações:
- Ele ganha exatamente duas provas.
- Ele ganha todas as três provas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações e somar os resultados para encontrar a probabilidade total de vencer o torneio.
Passo 3
Vamos começar calculando a probabilidade de ele ganhar exatamente duas provas. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
- $ n $ é o número total de provas (3).
- $ k $ é o número de provas que ele ganha (2).
- $ p $ é a probabilidade de ganhar uma prova ($ \frac{2}{3} $).
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
Passo 4
Calculando $ C(3, 2) $:
Agora, aplicando na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de ele ganhar todas as três provas. Aqui, $ k = 3 $:
Passo 6
Somando as duas probabilidades para encontrar a probabilidade total de ele vencer o torneio:
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais:
Resposta
A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a $ \frac{20}{27} $. A alternativa correta é a c) 20/27.