Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 23 ⁄, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a
a) 2/3
b) 4/9
c) 20/27
d)16/81

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um atleta participando de um torneio com três provas. A chance dele ganhar cada prova é de $ \frac{2}{3} $. Para ganhar o torneio, ele precisa ganhar pelo menos duas dessas provas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de ele vencer o torneio. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “ganhar pelo menos duas provas”. Isso inclui duas situações:
  1. Ele ganha exatamente duas provas.
  2. Ele ganha todas as três provas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações e somar os resultados para encontrar a probabilidade total de vencer o torneio.

Passo 3

Vamos começar calculando a probabilidade de ele ganhar exatamente duas provas. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de provas (3).
  • $ k $ é o número de provas que ele ganha (2).
  • $ p $ é a probabilidade de ganhar uma prova ($ \frac{2}{3} $).
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.

Passo 4

Calculando $ C(3, 2) $:
C(3, 2)
Agora, aplicando na fórmula:
C(3, 2) = 3!2!(3-2)! = 62 times 1 = 3
P(2) = 3 times (23)^2 times (1 - 23)^3-2

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de ele ganhar todas as três provas. Aqui, $ k = 3 $:
k = 3
P(3) = C(3, 3) times (23)^3 times (1 - 23)^3-3
C(3, 3) = 1

Passo 6

Somando as duas probabilidades para encontrar a probabilidade total de ele vencer o torneio:
P(vencer o torneio) = P(2) + P(3) = 49 + 827
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais:
49 = 1227
1227 + 827 = 2027

Resposta

A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a $ \frac{20}{27} $. A alternativa correta é a c) 20/27.

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