Um professor da disciplina de Estatística e Probabilidade, notou que as notas de duas provas têm distribuição normal bivariada, com parâmetros mu1=7,5, mu2=8,3, sigma1^2=0,25, sigma2^2=0,16 e rho=0,8.
(b) Suponha que a disciplina teve somente duas provas, qual é a probabilidade que nota média de um aluno na disciplina seja superior a 7 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas provas que têm notas distribuídas normalmente de forma conjunta. Temos os seguintes dados:
  • Médias das provas: mu1 = 7,5 e mu2 = 8,3
  • Variâncias: sigma1^2 = 0,25 e sigma2^2 = 0,16
  • Correlação entre as provas: rho = 0,8
O conteúdo que vamos usar aqui é distribuição normal bivariada e propriedades de combinações lineares de variáveis normais. Precisamos calcular a probabilidade de que a média das duas notas seja maior que 7.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a média das duas notas é dada por:
Média = X1 + X22 é
Queremos achar P(X1 + X22 > 7), que é a mesma coisa que P(X1 + X2 > 14).

Passo 3

Sabemos que se X1 e X2 têm distribuição normal conjunta, então a soma X1 + X2 também é normalmente distribuída. Para encontrar a distribuição de X1 + X2, precisamos calcular a média e a variância dessa soma.
A média da soma é:
muX1+X2 = mu1 + mu2 = 7,5 + 8,3 = 15,8

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância da soma. A fórmula para a variância de duas variáveis normais que têm correlação rho é:
sigmaX1+X2^2 = sigma1^2 + sigma2^2 + 2rhosigma1sigma2
Substituindo os valores:
sigmaX1+X2^2 = 0,25 + 0,16 + 2 times 0,8 times raiz0,25 times raiz0,16
Primeiro, calculamos raiz0,25 = 0,5 e raiz0,16 = 0,4.
Então:
sigmaX1+X2^2 = 0,25 + 0,16 + 2 times 0,8 times 0,5 times 0,4
sigmaX1+X2^2 = 0,25 + 0,16 + 2 times 0,8 times 0,2
sigmaX1+X2^2 = 0,25 + 0,16 + 0,32 = 0,73
A variância é 0,73, então o desvio padrão é:
sigmaX1+X2 = raiz0,73 approx 0,854

Passo 5

Agora, temos que X1 + X2 segue uma distribuição normal com média 15,8 e desvio padrão aproximadamente 0,854. Queremos achar a probabilidade de X1 + X2 ser maior que 14.
Vamos padronizar usando o Z:
Z = 14 - muX1+X2sigmaX1+X2 = 14 - 15,80,854 approx -1,80,854 approx -2,11

Passo 6

Agora, queremos P(X1 + X2 > 14) = P(Z > -2,11). Sabemos que a tabela da distribuição normal nos dá P(Z < z), então:
P(Z > -2,11) = 1 - P(Z < -2,11)
Mas, pela simetria da distribuição normal:
P(Z < -2,11) = P(Z > 2,11)
Então:
P(Z > -2,11) = 1 - P(Z > 2,11) = P(Z < 2,11)
Consultando a tabela da normal padrão, P(Z < 2,11) approx 0,9826.

Resposta

A probabilidade de que a média das duas notas seja superior a 7 é aproximadamente 98,26%.

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