Um professor da disciplina de Estatística e Probabilidade, notou que as notas de duas provas têm distribuição normal bivariada, com parâmetros
e
.
(b) Suponha que a disciplina teve somente duas provas, qual é a probabilidade que nota média de um aluno na disciplina seja superior a 7 ?
(b) Suponha que a disciplina teve somente duas provas, qual é a probabilidade que nota média de um aluno na disciplina seja superior a 7 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas provas que têm notas distribuídas normalmente de forma conjunta. Temos os seguintes dados:
- Médias das provas:
e - Variâncias:
e - Correlação entre as provas:
O conteúdo que vamos usar aqui é distribuição normal bivariada e propriedades de combinações lineares de variáveis normais. Precisamos calcular a probabilidade de que a média das duas notas seja maior que 7.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a média das duas notas é dada por:
Queremos achar
, que é a mesma coisa que
.
Passo 3
Sabemos que se
e
têm distribuição normal conjunta, então a soma
também é normalmente distribuída. Para encontrar a distribuição de
, precisamos calcular a média e a variância dessa soma.
A média da soma é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância da soma. A fórmula para a variância de duas variáveis normais que têm correlação
é:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
e
.
Então:
A variância é 0,73, então o desvio padrão é:
Passo 5
Agora, temos que
segue uma distribuição normal com média 15,8 e desvio padrão aproximadamente 0,854. Queremos achar a probabilidade de
ser maior que 14.
Vamos padronizar usando o Z:
Passo 6
Agora, queremos
. Sabemos que a tabela da distribuição normal nos dá
, então:
Mas, pela simetria da distribuição normal:
Então:
Consultando a tabela da normal padrão,
.
Resposta
A probabilidade de que a média das duas notas seja superior a 7 é aproximadamente
.