Seja X uma variável aleatória cuja funçâo densidade é dada por:
f(x)=lr c(1+x), & se 0
Obtenha:
a) o valor da constante c;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função densidade para uma variável aleatória . Essa função está dividida em duas partes: uma de com uma constante e outra de com valor constante . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função densidade de probabilidade precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva da função densidade deve ser igual a 1.
Já que a primeira condição está satisfeita pela definição da função, vamos focar na segunda para encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos calcular a integral da função densidade em todos os intervalos onde ela é diferente de zero e igualar essa soma a 1.
integral-infty^+infty f(x) , dx = 1
Como integral0^1 c(1 + x) , dx + integral1^2 23 , dx = 1 é zero fora de , podemos simplificar:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de integral0^1 c(1 + x) , dx = c integral0^1 (1 + x) , dx = c [ x + x^22 ]0^1 = c (1 + 12) = 3c2 a integral1^2 23 , dx = 23 (2 - 1) = 23 times 1 = 23 :
Agora, a integral de a :

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
3c2 + 23 = 1
Vamos resolver para 6 times 3c2 + 6 times 23 = 6 times 1 9c + 4 = 6 :
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 6 para tirar os denominadores:
9c = 2 c = 29
Subtraindo 4 de ambos os lados:

Resposta

O valor da constante é .

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