O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
a) Determine o valor de k ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos diz que o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com uma função densidade dada. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ k $ na função densidade. Para isso, vamos precisar entender que a área total sob a curva de uma função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Isso garante que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis seja 100%.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função densidade que foi dada:
Como estamos lidando com uma variável contínua, a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ até $ \infty $ deve ser igual a 1. Mas, do jeito que a função está definida, só precisamos considerar o intervalo de 0 a 1, já que fora desse intervalo a função é zero.
Passo 3
Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 4
Primeiro, vamos fatorar o $ k $ para facilitar a integração:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 5
Integrando $ 2x $:
Integrando $ -x^2 $:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a diferença é:
Passo 7
Voltando à equação inicial:
Agora, vamos resolver para $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ é $ \frac{3}{2} $.