O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=cc k(2 x-x^2), & se 0 <= x <= 1 0, & se x<0 ou x>1
a) Determine o valor de k ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com uma função densidade dada. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ k $ na função densidade. Para isso, vamos precisar entender que a área total sob a curva de uma função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Isso garante que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis seja 100%.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função densidade que foi dada:
f(x) = k(2x - x^2) & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á
Como estamos lidando com uma variável contínua, a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ até $ \infty $ deve ser igual a 1. Mas, do jeito que a função está definida, só precisamos considerar o intervalo de 0 a 1, já que fora desse intervalo a função é zero.

Passo 3

Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1:
f(x)
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

Primeiro, vamos fatorar o $ k $ para facilitar a integração:
k
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando $ 2x $:
2x
Integrando $ -x^2 $:
integral 2x , dx = x^2
Então, a integral completa fica:
-x^2

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
1^2 - 1^33 = 1 - 13 = 23
Então, a diferença é:
x = 0

Passo 7

Voltando à equação inicial:
k cdot 23 = 1
Agora, vamos resolver para $ k $:
k

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{3}{2} $.

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