Um próton de massa m desloca-se com velocidade V0 em direção a uma partícula alpha (alfa) de massa 4 m que está inicialmente em repouso. Após o choque a partícula alfa move-se com velocidade de módulo V04 raiz2 em uma direção que faz um ângulo theta=45^circ com a direção inicial de movimento do próton, como na figura.
Calcule as componentes da velocidade do próton de massa m após o choque (na direção original do movimento e perpendicular a este);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton de massa m que está se movendo com uma velocidade V0 em direção a uma partícula alfa (que tem massa 4m) que está parada. Depois da colisão, a partícula alfa se move com uma velocidade de módulo V04 raiz2 fazendo um ângulo de 45^circ com a direção inicial do próton. Nosso objetivo é encontrar as componentes da velocidade do próton após o choque, tanto na direção original quanto perpendicular a ela. Para isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e decomposição de vetores em componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear de um objeto é dado por p = m cdot v, onde m é a massa e v é a velocidade. Na colisão, a quantidade de movimento total do sistema (próton + partícula alfa) deve ser a mesma antes e depois do choque, desde que não haja forças externas agindo no sistema. Isso significa que vamos aplicar a conservação do momento linear nas direções horizontal (original do próton) e vertical (perpendicular a essa direção).

Passo 3

Vamos definir as direções: consideramos a direção inicial do próton como o eixo x (horizontal) e a direção perpendicular como o eixo y (vertical). Antes da colisão, a partícula alfa está parada, então seu momento inicial é zero. O próton, então, tem um momento inicial de ppróton , inicial = m cdot V0ó na direção x.
Após a colisão, a partícula alfa está se movendo com velocidade V04 raiz2 em um ângulo de 45^circ em relação ao eixo x. Vamos decompor essa velocidade nas direções x e y:
Valpha x = V04 raiz2 cdot cos(45^circ) = V04 raiz2 cdot raiz22 = V08
Valpha y = V04 raiz2 cdot sin(45^circ) = V04 raiz2 cdot raiz22 = V08

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação do momento linear nas duas direções.
Na direção x:
ptotal , inicial , x = ptotal , final , x
m cdot V0 = m cdot Vpróton , x + 4m cdot V08 ó
Simplificando:
mV0 = mVpróton , x + 4mV08 ó
mV0 = mVpróton , x + mV02 ó
Subtraindo mV02 de ambos os lados:
mV02 = mVpróton , x ó
Dividindo ambos os lados por m:
Vpróton , x = V02 ó
Na direção y:
Antes da colisão, não havia movimento na direção y, então:
0 = m cdot Vpróton , y + 4m cdot V08 ó
Simplificando:
0 = mVpróton , y + 4mV08 ó
0 = mVpróton , y + mV02 ó
Subtraindo mV02 de ambos os lados:
-mV0/2 = mVpróton , y ó
Dividindo ambos os lados por m:
Vpróton , y = -V02 ó

Resposta

As componentes da velocidade do próton após o choque são:
Vpróton , x = V02 ó
Vpróton , y = -V02 ó

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