Os prótons são acelerados até uma energia total que é 400 vezes maior que sua energia em repouso.
(a) Qual é a velocidade desses prótons em termos de
?
(b) Qual é a sua energia cinética em MeV?
(Solução: (a)
(b)
)
(a) Qual é a velocidade desses prótons em termos de
(b) Qual é a sua energia cinética em MeV?
(Solução: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre prótons que são acelerados até uma energia total 400 vezes maior que a energia que eles têm quando estão parados. Vamos precisar usar conceitos de teoria da relatividade especial, especialmente sobre como a energia e a velocidade se relacionam quando um objeto se move próximo à velocidade da luz. Nosso objetivo é descobrir:
(a) a velocidade dos prótons em termos de
(a velocidade da luz) e
(b) a energia cinética desses prótons em MeV.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Queremos encontrar a velocidade
dos prótons quando sua energia total é 400 vezes a energia de repouso.
Primeiro, precisamos entender que a energia total (
) de uma partícula relativística é dada por:
onde:
-
é o fator de Lorentz, -
é a massa de repouso do próton, -
é a velocidade da luz.
Sabemos que
, onde
. Então:
O fator de Lorentz
está relacionado à velocidade
por:
Agora, sabemos que
, então:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Continuando a resolução:
Primeiro, invertendo ambos os lados:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isolando
:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a energia cinética (
) dos prótons em MeV.
Sabemos que a energia cinética é dada por:
Já que
, temos:
A energia de repouso de um próton é aproximadamente
.
Então,
Resposta
(a) A velocidade dos prótons é aproximadamente
.
(b) A energia cinética dos prótons é
.