Os prótons são acelerados até uma energia total que é 400 vezes maior que sua energia em repouso.
(a) Qual é a velocidade desses prótons em termos de c ?
(b) Qual é a sua energia cinética em MeV?
(Solução: (a) v=0,999997 c (b) K=3,74 times 10^5 MeV )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre prótons que são acelerados até uma energia total 400 vezes maior que a energia que eles têm quando estão parados. Vamos precisar usar conceitos de teoria da relatividade especial, especialmente sobre como a energia e a velocidade se relacionam quando um objeto se move próximo à velocidade da luz. Nosso objetivo é descobrir:
(a) a velocidade dos prótons em termos de (a velocidade da luz) e
(b) a energia cinética desses prótons em MeV.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Queremos encontrar a velocidade Etotal = gamma m c^2 dos prótons quando sua energia total é 400 vezes a energia de repouso.
Primeiro, precisamos entender que a energia total ( gamma m c^2 = 400 m c^2 implies gamma = 400 ) de uma partícula relativística é dada por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
onde:
  • 400 = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz,
  • é a massa de repouso do próton,
  • é a velocidade da luz.
Sabemos que , onde . Então:
O fator de Lorentz está relacionado à velocidade por:
Agora, sabemos que , então:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Continuando a resolução:
Primeiro, invertendo ambos os lados:
raiz1 - v^2c^2 = 1400
Elevando ao quadrado ambos os lados:
1 - v^2c^2 = (1400)^2 = 1160000
Isolando v^2c^2 = 1 - 1160000 = 159999160000 :
vc = raiz159999160000 approx 0,999997
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v approx 0,999997 , c :
Então,

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a energia cinética ( K = Etotal - Erepouso ) dos prótons em MeV.
Sabemos que a energia cinética é dada por:
K = 400 Erepouso - Erepouso = 399 Erepouso
Já que K = 399 times 938 , MeV approx 374, 000 , MeV , temos:
A energia de repouso de um próton é aproximadamente .
Então,

Resposta

(a) A velocidade dos prótons é aproximadamente .
(b) A energia cinética dos prótons é .

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