Uma prova consta de 35 questões do tipo múltipla escolha, com 5 opções cada uma, onde apenas uma opção é verdadeira. Um candidato que não sabe resolver nenhuma das questões vai respondê-las aleatoriamente. Ele sabe que as respostas certas das 35 questões estão distribuídas igualmente entre as opções A, B, C, D e E. Então, resolve marcar suas respostas seguindo este critério: escolherá aleatoriamente 7 questões para marcar a opção A, outras 7 para a opção B, e assim sucessivamente. A probabilidade de ele acertar todas as questões é:
(5!)7/35!5.7!/35!7.5!/35!1/35!(7!)5/35!
(5!)7/35!5.7!/35!7.5!/35!1/35!(7!)5/35!
Passo 1
Resumo do Problema e Conteúdo Envolvido
Temos uma prova com 35 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 opções: A, B, C, D e E. Apenas uma opção está correta em cada questão. O candidato não sabe as respostas, mas sabe que as respostas corretas estão distribuídas igualmente entre as opções, ou seja, 7 respostas corretas para cada opção. Para responder, ele decide marcar exatamente 7 questões com cada uma das opções A, B, C, D e E, escolhendo quais marcar aleatoriamente. Queremos descobrir qual a probabilidade dele acertar todas as 35 questões dessa forma.
Conteúdo da Matéria:
- Probabilidade
- Combinatória (fatoriais e combinações)
Vamos precisar entender como calcular o número total de maneiras de marcar as respostas e quantas dessas maneiras resultam em todas as respostas corretas.
Passo 2
Calculando o Número Total de Maneiras de Marcar as Respostas
Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras o candidato pode distribuir as opções A, B, C, D e E nas 35 questões, marcando exatamente 7 questões para cada opção.
Isso é um problema de combinatória, onde queremos distribuir um número fixo de objetos (as marcações das opções) em grupos específicos.
A fórmula para isso é o coeficiente multinomial:
Aqui:
-
é o fatorial de 35, representando todas as possíveis ordenações das respostas. -
representa as permutações dentro de cada grupo de 7 respostas para cada opção, que não afetam o resultado final.
Então, o número total de maneiras de marcar as respostas é
.
Passo 3
Calculando o Número de Maneiras que Resultam em Todas as Respostas Corretas
Para que o candidato acerte todas as respostas, ele precisa marcar exatamente as 7 questões que realmente têm a opção A como correta, as 7 que têm B como correta, e assim por diante para C, D e E.
Para cada grupo de 7 respostas corretas de uma opção, há exatamente 1 maneira de marcá-las corretamente. No entanto, considerando que dentro de cada grupo de 7 respostas corretas, a ordem não importa, temos que multiplicar as possibilidades de cada grupo.
Isso resulta em:
Aqui,
representa as permutações das 7 respostas corretas para cada uma das 5 opções, e elevamos isso à quinta potência porque temos 5 grupos.
Passo 4
Calculando a Probabilidade de Acertar Todas as Respostas
A probabilidade de um evento acontecer é igual ao número de maneiras favoráveis dividido pelo número total de maneiras possíveis.
Portanto, a probabilidade
de acertar todas as 35 questões é:
Resposta
A probabilidade de o candidato acertar todas as questões é
.