Provar que sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge usando os seguintes passos:
$(e) Explicar porque o mesmo argumento não funciona com a série (e) Explicar porque o mesmo argumento não funciona com a série apesar que apesar que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge. Essa série faz parte do estudo sobre séries numéricas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a nossa série é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão mudando de positivo para negativo e vice-versa por causa do (-1)^k+1. Além disso, os termos 1k estão diminuindo conforme k aumenta, já que 1k+1 < 1k para todo k >= 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma sumk=1^infty (-1)^k+1 ak converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos ak são decrescentes, ou seja, ak+1 <= ak para todo k.
  2. O limite dos termos é zero, ou seja, limk to infty ak = 0.

Passo 4

No nosso caso, ak = 1k. Vemos que ak é decrescente porque 1k+1 < 1k. Além disso, limk to infty 1k = 0. Então, ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas.

Passo 5

Portanto, pela aplicação do Teste da Série Alternada, podemos concluir que a série sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre por que o mesmo argumento não funciona para a série sumk=1^infty(-1)^k+1, mesmo que pareça que os termos se cancelam porque (-1)^k + (-1)^k+1 = 0.

Passo 7

A diferença aqui é que, na série sumk=1^infty(-1)^k+1, os termos não estão diminuindo em magnitude; eles sempre têm módulo 1. O Teste da Série Alternada exige que os termos ak sejam decrescentes e que tendam a zero. Como limk to infty (-1)^k+1 não existe (ou seja, os termos não tendem a zero), o teste não é aplicável. Além disso, a soma desses termos não se aproxima de um valor fixo, pois continua alternando entre 1 e 0.

Resposta

Portanto, sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge pela aplicação do Teste da Série Alternada, enquanto a série sumk=1^infty(-1)^k+1 não converge porque os termos não diminuem e não tendem a zero.

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