Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(e) Explicar porque o mesmo argumento não funciona com a série
apesar que
$(e) Explicar porque o mesmo argumento não funciona com a série
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que a série alternada
converge. Essa série faz parte do estudo sobre séries numéricas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a nossa série é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão mudando de positivo para negativo e vice-versa por causa do
. Além disso, os termos
estão diminuindo conforme
aumenta, já que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos é zero, ou seja,
.
Passo 4
No nosso caso,
. Vemos que
é decrescente porque
. Além disso,
. Então, ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas.
Passo 5
Portanto, pela aplicação do Teste da Série Alternada, podemos concluir que a série
converge.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre por que o mesmo argumento não funciona para a série
, mesmo que pareça que os termos se cancelam porque
.
Passo 7
A diferença aqui é que, na série
, os termos não estão diminuindo em magnitude; eles sempre têm módulo 1. O Teste da Série Alternada exige que os termos
sejam decrescentes e que tendam a zero. Como
não existe (ou seja, os termos não tendem a zero), o teste não é aplicável. Além disso, a soma desses termos não se aproxima de um valor fixo, pois continua alternando entre 1 e 0.
Resposta
Portanto,
converge pela aplicação do Teste da Série Alternada, enquanto a série
não converge porque os termos não diminuem e não tendem a zero.
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