Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação tan(x) = 2 - 4 x possui uma solução no intervalo (-pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo (-pi/2, pi/2). Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta importante no cálculo para mostrar que uma função atinge certos valores dentro de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função baseada na equação dada. Vamos chamar de f(x):
Queremos provar que existe um valor de x no intervalo (-pi/2, pi/2) onde , ou seja, onde .

Passo 3

O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função contínua atinge dois valores diferentes em um intervalo, então ela também atinge todos os valores entre esses dois pontos. Então, precisamos mostrar que:
  1. A função f(x) é contínua no intervalo (-pi/2, pi/2).
  2. Existem dois pontos a e b no intervalo onde f(a) e f(b) têm sinais opostos.

Passo 4

Primeiro, a função tan(x) é contínua no intervalo (-pi/2, pi/2) porque não temos os pontos de descontinuidade (sendo os únicos pontos de descontinuidade da tangente). A função também é uma função linear e, portanto, contínua em todo lugar. Então, é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos escolher dois pontos no intervalo e calcular f(x):
  • Vamos escolher x = 0:
  • Vamos escolher :
Como , então , que é positivo.

Passo 6

Observamos que (negativo) e (positivo). Isso significa que a função f(x) muda de negativa para positiva no intervalo entre 0 e pi/4.

Passo 7

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f(x) é contínua no intervalo (0, pi/4) e muda de sinal, deve existir pelo menos um c nesse intervalo onde . Ou seja, existe um c onde .

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo (-pi/2, pi/2).

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