Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação
possui uma solução no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta importante no cálculo para mostrar que uma função atinge certos valores dentro de um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função baseada na equação dada. Vamos chamar de
:
Queremos provar que existe um valor de
no intervalo
onde
, ou seja, onde
.
Passo 3
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função contínua atinge dois valores diferentes em um intervalo, então ela também atinge todos os valores entre esses dois pontos. Então, precisamos mostrar que:
- A função
é contínua no intervalo . - Existem dois pontos
e no intervalo onde e têm sinais opostos.
Passo 4
Primeiro, a função
é contínua no intervalo
porque não temos os pontos de descontinuidade (sendo
os únicos pontos de descontinuidade da tangente). A função
também é uma função linear e, portanto, contínua em todo lugar. Então,
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos escolher dois pontos no intervalo e calcular
:
-
Vamos escolher
: -
Vamos escolher
:
Como
, então
, que é positivo.
Passo 6
Observamos que
(negativo) e
(positivo). Isso significa que a função
muda de negativa para positiva no intervalo entre
e
.
Passo 7
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua no intervalo
e muda de sinal, deve existir pelo menos um
nesse intervalo onde
. Ou seja, existe um
onde
.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
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