Prove que a força restauradora de uma mola de constante K para expandí-la de um pondo até um ponto , quando uma massa ligada a mola está sobre uma superfície sem atrito, é uma força conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a força restauradora de uma mola, com constante , que a expande de um ponto até um ponto , quando uma massa está ligada a ela em uma superfície sem atrito, é uma força conservativa. Vamos precisar entender o que é uma força conservativa e usar a lei de Hooke para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho realizado por ela em um percurso fechado for zero. Isso significa que a energia depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a força restauradora de uma mola. De acordo com a lei de Hooke, a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio e pode ser expressa por:
O sinal negativo indica que a força contraria o deslocamento, ou seja, tenta restaurar a mola à sua posição original.

Passo 4

Para provar que essa força é conservativa, precisamos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando a força em relação a , temos:
Onde é a constante de integração, que pode ser definida como zero escolhendo .

Passo 5

A existência dessa função potencial mostra que a força é derivada dessa função potencial. Além disso, o trabalho realizado pela força restauradora ao mover a massa de a depende apenas desses dois pontos e não do caminho seguido, o que confirma que a força é conservativa.

Resposta

Portanto, a força restauradora da mola é uma força conservativa.

Exercícios relacionados

Com base nas seções 9.4 e 9.5 do livro 1 Sears, responda: Descreva a definição de momento de inércia. Cite a sua unidade. É uma grandeza escalar ou vetorial?
Na seção 10.5: Explique a regra da mão direita apresentada na figura 10.26.
Suponha que o sistema do problema anterior seja posto em movimento de rotação em relação aos eixos ali considerados. Tome e . (a) Sabendo que a energia cinética de rotação desse sistema vale 1.0 kJ , escolha os eixos em relação aos quais a velocidade angular será mínima ou máxima, e calcule essas velocidades. (b) Sabendo que a velocidade angular desse sistema vale , escolha os eixos em relação aos quais a energia cinética de rotação será mínima ou máxima, e calcule essas energias cinéticas.
Resp.: (a) e ; (b) e .
Três barras finas de mesmo comprimento estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema: e considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a) , (2/3) e ; (b) (11/12) e (3/4) ; © , (17/12) ; (d) .