Prove que a força restauradora de uma mola de constante K para expandí-la de um pondo
até um ponto
, quando uma massa
ligada a mola está sobre uma superfície sem atrito, é uma força conservativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a força restauradora de uma mola, com constante
, que a expande de um ponto
até um ponto
, quando uma massa
está ligada a ela em uma superfície sem atrito, é uma força conservativa. Vamos precisar entender o que é uma força conservativa e usar a lei de Hooke para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho realizado por ela em um percurso fechado for zero. Isso significa que a energia depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a força restauradora de uma mola. De acordo com a lei de Hooke, a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento
a partir da posição de equilíbrio e pode ser expressa por:
O sinal negativo indica que a força contraria o deslocamento, ou seja, tenta restaurar a mola à sua posição original.
Passo 4
Para provar que essa força é conservativa, precisamos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando a força
em relação a
, temos:
Onde
é a constante de integração, que pode ser definida como zero escolhendo
.
Passo 5
A existência dessa função potencial
mostra que a força
é derivada dessa função potencial. Além disso, o trabalho realizado pela força restauradora ao mover a massa de
a
depende apenas desses dois pontos e não do caminho seguido, o que confirma que a força é conservativa.
Resposta
Portanto, a força restauradora da mola é uma força conservativa.
Exercícios relacionados
Com base nas seções 9.4 e 9.5 do livro 1 Sears, responda: Descreva a definição de momento de inércia. Cite a sua unidade. É uma grandeza escalar ou vetorial?
Na seção 10.5: Explique a regra da mão direita apresentada na figura 10.26.
Suponha que o sistema do problema anterior seja posto em movimento de rotação em relação aos eixos ali considerados. Tome
e
. (a) Sabendo que a energia cinética de rotação desse sistema vale 1.0 kJ , escolha os eixos em relação aos quais a velocidade angular será mínima ou máxima, e calcule essas velocidades. (b) Sabendo que a velocidade angular desse sistema vale
, escolha os eixos em relação aos quais a energia cinética de rotação será mínima ou máxima, e calcule essas energias cinéticas.
Resp.: (a) e
; (b)
e
.
Resp.: (a)
Três barras finas de mesmo comprimento
estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema:
e
considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a) , (2/3)
e
; (b) (11/12)
e (3/4)
; ©
, (17/12)
; (d)
.
Resp.: (a)