Prove que a força restauradora de uma mola de constante K para expandí-la de um pondo x1 até um ponto x2, quando uma massa m ligada a mola está sobre uma superfície sem atrito, é uma força conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a força restauradora de uma mola, com constante , que a expande de um ponto até um ponto , quando uma massa está ligada a ela em uma superfície sem atrito, é uma força conservativa. Vamos precisar entender o que é uma força conservativa e usar a lei de Hooke para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho realizado por ela em um percurso fechado for zero. Isso significa que a energia depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a força restauradora de uma mola. De acordo com a lei de Hooke, a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento F = -Kx a partir da posição de equilíbrio e pode ser expressa por:
O sinal negativo indica que a força contraria o deslocamento, ou seja, tenta restaurar a mola à sua posição original.

Passo 4

Para provar que essa força é conservativa, precisamos encontrar uma função potencial F = -dUdx tal que:
U(x) = integral F , dx = integral -Kx , dx = -K2x^2 + C
Integrando a força em relação a , temos:
Onde é a constante de integração, que pode ser definida como zero escolhendo .

Passo 5

A existência dessa função potencial mostra que a força é derivada dessa função potencial. Além disso, o trabalho realizado pela força restauradora ao mover a massa de a depende apenas desses dois pontos e não do caminho seguido, o que confirma que a força é conservativa.

Resposta

Portanto, a força restauradora da mola é uma força conservativa.

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