Três barras finas de mesmo comprimento L estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema: xC M=L / 2 e yC M=4 L / 5 considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a) 2 ML^2, (2/3) ML^2 e 2 ML^2; (b) (11/12) ML^2 e (3/4) ML^2; © (35 / 12) ML^2, (17/12) ML^2 e(35 / 12) ML^2; (d) (73 / 60) ML^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre três barras finas de mesmo comprimento L e massa M. A gente precisa calcular os momentos de inércia dessas barras em diferentes eixos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de momentos de inércia e o teorema do eixo paralelo. Vamos precisar das fórmulas básicas de momento de inércia para barras finas e entender como aplicar o teorema do eixo paralelo quando o eixo não passa pelo centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do momento de inércia ( I) para uma barra fina em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular à barra. A fórmula é:
Icentro = 112 M L^2
Isso significa que se a gente tem uma barra de massa M e comprimento L, o momento de inércia em torno do eixo central é 112 ML^2.

Passo 3

Agora, se o eixo não passa pelo centro de massa, usamos o teorema do eixo paralelo. A fórmula é:
I = Icentro + M d^2
onde d é a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa e o novo eixo. Esse teorema é super útil para calcular momentos de inércia quando o eixo está deslocado.

Passo 4

Vamos considerar cada uma das barras:
  1. Barra Vertical Esquerda: Supondo que ela está alinhada verticalmente e a origem está no ponto inferior dela. O eixo perpendicular ao plano da página passando pelo centro de massa está a uma distância d = L2 da origem.
  2. Barra Horizontal: Ela está alinhada horizontalmente, e seu centro de massa está a uma distância d = L2 da origem na vertical.
  3. Barra Vertical Direita: Similar à primeira barra, está alinhada verticalmente, com o centro de massa a uma distância d = L2 da origem.

Passo 5

Vamos calcular o momento de inércia para cada barra em relação ao eixo perpendicular ao plano da página que passa pelo centro de massa de cada barra:
  • Para cada barra: Icentro = 112 ML^2

Passo 6

Agora, aplicando o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao eixo que passa pela origem (ponto inferior da barra vertical esquerda):
  • Barra Vertical Esquerda:
    I = 112 ML^2 + M (L2)^2 = 112 ML^2 + 14 ML^2 = 13 ML^2
  • Barra Horizontal:
    I = 112 ML^2 + M (L2)^2 = 112 ML^2 + 14 ML^2 = 13 ML^2
  • Barra Vertical Direita:
    I = 112 ML^2 + M (L2)^2 = 112 ML^2 + 14 ML^2 = 13 ML^2

Passo 7

Agora, para o momento de inércia do sistema em um eixo que passa pelo centro de massa do sistema ( xCM = L2 e yCM = 4L5), precisamos considerar o deslocamento de cada barra em relação a esse ponto.
Aplicamos o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao novo eixo:
  • Barra Vertical Esquerda:
    • Distância d = L2
    I = 112 ML^2 + M (L2)^2 = 13 ML^2
  • Barra Horizontal:
    • Distância d = 4L5
    I = 112 ML^2 + M (4L5)^2 = 112 ML^2 + 1625 ML^2 = 3560 ML^2 = 712 ML^2
  • Barra Vertical Direita:
    • Distância d = L2
    I = 112 ML^2 + M (L2)^2 = 13 ML^2

Passo 8

Somando todos os momentos de inércia para o sistema:
Itotal = 13 ML^2 + 712 ML^2 + 13 ML^2 = 412 ML^2 + 712 ML^2 + 412 ML^2 = 1512 ML^2 = 54 ML^2

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é 54 ML^2.

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