Três barras finas de mesmo comprimento
estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema:
e
considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a)
, (2/3)
e
; (b) (11/12)
e (3/4)
; ©
, (17/12)
; (d)
.
Resp.: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre três barras finas de mesmo comprimento
e massa
. A gente precisa calcular os momentos de inércia dessas barras em diferentes eixos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de momentos de inércia e o teorema do eixo paralelo. Vamos precisar das fórmulas básicas de momento de inércia para barras finas e entender como aplicar o teorema do eixo paralelo quando o eixo não passa pelo centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do momento de inércia (
) para uma barra fina em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular à barra. A fórmula é:
Isso significa que se a gente tem uma barra de massa
e comprimento
, o momento de inércia em torno do eixo central é
.
Passo 3
Agora, se o eixo não passa pelo centro de massa, usamos o teorema do eixo paralelo. A fórmula é:
onde
é a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa e o novo eixo. Esse teorema é super útil para calcular momentos de inércia quando o eixo está deslocado.
Passo 4
Vamos considerar cada uma das barras:
-
Barra Vertical Esquerda: Supondo que ela está alinhada verticalmente e a origem está no ponto inferior dela. O eixo perpendicular ao plano da página passando pelo centro de massa está a uma distância
da origem. -
Barra Horizontal: Ela está alinhada horizontalmente, e seu centro de massa está a uma distância
da origem na vertical. -
Barra Vertical Direita: Similar à primeira barra, está alinhada verticalmente, com o centro de massa a uma distância
da origem.
Passo 5
Vamos calcular o momento de inércia para cada barra em relação ao eixo perpendicular ao plano da página que passa pelo centro de massa de cada barra:
- Para cada barra:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao eixo que passa pela origem (ponto inferior da barra vertical esquerda):
-
Barra Vertical Esquerda:
-
Barra Horizontal:
-
Barra Vertical Direita:
Passo 7
Agora, para o momento de inércia do sistema em um eixo que passa pelo centro de massa do sistema (
e
), precisamos considerar o deslocamento de cada barra em relação a esse ponto.
Aplicamos o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao novo eixo:
-
Barra Vertical Esquerda:
- Distância
- Distância
-
Barra Horizontal:
- Distância
- Distância
-
Barra Vertical Direita:
- Distância
- Distância
Passo 8
Somando todos os momentos de inércia para o sistema:
Resposta
O momento de inércia do sistema em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é
.