Três barras finas de mesmo comprimento estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema: e considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a) , (2/3) e ; (b) (11/12) e (3/4) ; © , (17/12) ; (d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre três barras finas de mesmo comprimento e massa . A gente precisa calcular os momentos de inércia dessas barras em diferentes eixos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de momentos de inércia e o teorema do eixo paralelo. Vamos precisar das fórmulas básicas de momento de inércia para barras finas e entender como aplicar o teorema do eixo paralelo quando o eixo não passa pelo centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do momento de inércia ( ) para uma barra fina em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular à barra. A fórmula é:
Isso significa que se a gente tem uma barra de massa e comprimento , o momento de inércia em torno do eixo central é .

Passo 3

Agora, se o eixo não passa pelo centro de massa, usamos o teorema do eixo paralelo. A fórmula é:
onde é a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa e o novo eixo. Esse teorema é super útil para calcular momentos de inércia quando o eixo está deslocado.

Passo 4

Vamos considerar cada uma das barras:
  1. Barra Vertical Esquerda: Supondo que ela está alinhada verticalmente e a origem está no ponto inferior dela. O eixo perpendicular ao plano da página passando pelo centro de massa está a uma distância da origem.
  2. Barra Horizontal: Ela está alinhada horizontalmente, e seu centro de massa está a uma distância da origem na vertical.
  3. Barra Vertical Direita: Similar à primeira barra, está alinhada verticalmente, com o centro de massa a uma distância da origem.

Passo 5

Vamos calcular o momento de inércia para cada barra em relação ao eixo perpendicular ao plano da página que passa pelo centro de massa de cada barra:
  • Para cada barra:

Passo 6

Agora, aplicando o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao eixo que passa pela origem (ponto inferior da barra vertical esquerda):
  • Barra Vertical Esquerda:
  • Barra Horizontal:
  • Barra Vertical Direita:

Passo 7

Agora, para o momento de inércia do sistema em um eixo que passa pelo centro de massa do sistema ( e ), precisamos considerar o deslocamento de cada barra em relação a esse ponto.
Aplicamos o teorema do eixo paralelo para cada barra em relação ao novo eixo:
  • Barra Vertical Esquerda:
    • Distância
  • Barra Horizontal:
    • Distância
  • Barra Vertical Direita:
    • Distância

Passo 8

Somando todos os momentos de inércia para o sistema:

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é .

Exercícios relacionados

Suponha que o sistema do problema anterior seja posto em movimento de rotação em relação aos eixos ali considerados. Tome e . (a) Sabendo que a energia cinética de rotação desse sistema vale 1.0 kJ , escolha os eixos em relação aos quais a velocidade angular será mínima ou máxima, e calcule essas velocidades. (b) Sabendo que a velocidade angular desse sistema vale , escolha os eixos em relação aos quais a energia cinética de rotação será mínima ou máxima, e calcule essas energias cinéticas.
Resp.: (a) e ; (b) e .
Prove que a força restauradora de uma mola de constante K para expandí-la de um pondo até um ponto , quando uma massa ligada a mola está sobre uma superfície sem atrito, é uma força conservativa.
As massas e as coordenadas de quatro particulas são as seguintes: 50 g , . Qual é o momento de inércia deste conjunto em relação ao (a) eixo ; (b) eixo y e © eixo ?
Resp.: (a) ; (b) ; © .
Uma pessoa que está andando de roda-gigante passa pelas seguintes posições: (1) o ponto mais alto da roda, (2) o ponto mais baixo da roda, (3) o ponto médio da roda. Se a roda está girando com velocidade angular constante, ordene as três posições, em ordem decrescente, (a) de acordo com o módulo da aceleração centrípeta da pessoa; (b) de acordo com o módulo da força centrípeta resultante a que a pessoa está sujeita; © de acordo com o módulo da força normal a que a pessoa está sujeita.