Prove a relação abaixo, que expressa os coeficientes de transmissão e reflexão em termos da razão
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provarmos uma relação que liga os coeficientes de reflexão (
) e transmissão (
) com a razão
, onde
é a energia do elétron e
é o potencial. Esse tipo de problema geralmente aparece na física quântica, quando a gente estuda como partículas se comportam ao encontrar uma barreira de potencial. Aqui, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como as ondas de partícula se comportam em diferentes regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elétron com energia
se aproximando de uma barreira de potencial
, onde
. A função de onda do elétron vai ter formas diferentes nas regiões antes e depois da barreira. Na região anterior à barreira (onde o potencial é zero), a função de onda pode ser escrita como uma combinação de onda incidente e refletida:
Aqui,
é a amplitude da onda incidente,
é a amplitude da onda refletida, e
está relacionada à energia do elétron pela relação:
Passo 3
Na região da barreira (onde o potencial é
), a energia efetiva do elétron é
. Como
, ainda temos uma solução oscilatória para a função de onda:
Onde
e
são amplitudes desconhecidas, e
é dado por:
Passo 4
Para encontrar os coeficientes de reflexão e transmissão, precisamos aplicar as condições de continuidade nas interfaces da barreira. Isso significa que as funções de onda e suas derivadas devem ser contínuas em
e
(supondo uma barreira de largura
). Resolvendo essas condições, eventualmente encontramos a relação entre
e
, e entre
,
e
.
Depois de fazer os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra), chegamos à expressão para o coeficiente de reflexão
:
E como a soma dos coeficientes de reflexão e transmissão deve ser 1 (
), temos também que:
Resposta
Portanto, provamos que os coeficientes de reflexão e transmissão estão relacionados por: